Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31737 / 37589
↖ ↑ ↗
← S 25.587040°
W  5.663452°		 ← 550.95 m → S 25.587040°
W  5.657959°		 →
↑
550.90 m
↓
↑
550.90 m
↓
S 25.591994°
W  5.663452°		 ← 550.92 m →
303 510 m²		 S 25.591994°
W  5.657959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484275817871094 y=0.573570251464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484275817871094 × 216)
    floor (0.484275817871094 × 65536)
    floor (31737.5)     		tx = 31737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573570251464844 × 216)
    floor (0.573570251464844 × 65536)
    floor (37589.5)     		ty = 37589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31737 / 37589 ti = "16/31737/37589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31737/37589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31737 ÷ 216
    31737 ÷ 65536     		x = 0.484268188476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37589 ÷ 216
    37589 ÷ 65536     		y = 0.573562622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484268188476562 × 2 - 1) × π
    -0.031463623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09884589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573562622070312 × 2 - 1) × π
    -0.147125244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.462207586136581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09884589} λ = -0.09884589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.462207586136581))-π/2
    2×atan(0.629891569611927)-π/2
    2×0.562109117949301-π/2
    1.1242182358986-1.57079632675     		φ = -0.44657809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09884589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.663452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44657809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.587040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31737 KachelY 37589 -0.09884589 -0.44657809 -5.663452 -25.587040
    Oben rechts KachelX + 1 31738 KachelY 37589 -0.09875001 -0.44657809 -5.657959 -25.587040
    Unten links KachelX 31737 KachelY + 1 37590 -0.09884589 -0.44666456 -5.663452 -25.591994
    Unten rechts KachelX + 1 31738 KachelY + 1 37590 -0.09875001 -0.44666456 -5.657959 -25.591994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44657809--0.44666456) × R
    8.64700000000052e-05 × 6371000     		dl = 550.900370000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44657809--0.44666456) × R
    8.64700000000052e-05 × 6371000     		dr = 550.900370000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09884589--0.09875001) × cos(-0.44657809) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.901930240485613 × 6371000     		do = 550.94542225743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09884589--0.09875001) × cos(-0.44666456) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.901892892299312 × 6371000     		du = 550.922608062553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44657809)-sin(-0.44666456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901930240485613-0.901892892299312)×R²
    abs(-0.09875001--0.09884589)×3.73481863006342e-05×R²
    9.58800000000065e-05×3.73481863006342e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×3.73481863006342e-05×40589641000000     		ar = 303509.752986351m²