Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 31737 / 21499
↖ ↑ ↗
← N 76.188274°
W 92.831726°		 ← 72.91 m → N 76.188274°
W 92.828979°		 →
↑
72.95 m
↓
↑
72.95 m
↓
N 76.187618°
W 92.831726°		 ← 72.92 m →
5 319 m²		 N 76.187618°
W 92.828979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242137908935547 y=0.164028167724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242137908935547 × 217)
    floor (0.242137908935547 × 131072)
    floor (31737.5)     		tx = 31737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164028167724609 × 217)
    floor (0.164028167724609 × 131072)
    floor (21499.5)     		ty = 21499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31737 / 21499 ti = "17/31737/21499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31737/21499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31737 ÷ 217
    31737 ÷ 131072     		x = 0.242134094238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21499 ÷ 217
    21499 ÷ 131072     		y = 0.164024353027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242134094238281 × 2 - 1) × π
    -0.515731811523438 × 3.1415926535     		Λ = -1.62021927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164024353027344 × 2 - 1) × π
    0.671951293945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.11099724856841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.62021927} λ = -1.62021927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11099724856841))-π/2
    2×atan(8.2564709342608)-π/2
    2×1.45026628262867-π/2
    2.90053256525733-1.57079632675     		φ = 1.32973624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.62021927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.831726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32973624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.188274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31737 KachelY 21499 -1.62021927 1.32973624 -92.831726 76.188274
    Oben rechts KachelX + 1 31738 KachelY 21499 -1.62017133 1.32973624 -92.828979 76.188274
    Unten links KachelX 31737 KachelY + 1 21500 -1.62021927 1.32972479 -92.831726 76.187618
    Unten rechts KachelX + 1 31738 KachelY + 1 21500 -1.62017133 1.32972479 -92.828979 76.187618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32973624-1.32972479) × R
    1.14499999999129e-05 × 6371000     		dl = 72.9479499994452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32973624-1.32972479) × R
    1.14499999999129e-05 × 6371000     		dr = 72.9479499994452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.62021927--1.62017133) × cos(1.32973624) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238732195231603 × 6371000     		do = 72.9149573903891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.62021927--1.62017133) × cos(1.32972479) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238743314144284 × 6371000     		du = 72.9183533925226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32973624)-sin(1.32972479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238732195231603-0.238743314144284)×R²
    abs(-1.62017133--1.62021927)×1.11189126807965e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11189126807965e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11189126807965e-05×40589641000000     		ar = 5319.12053168728m²