Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31737 / 19463
↖ ↑ ↗
← N 77.461855°
W 92.831726°		 ← 66.30 m → N 77.461855°
W 92.828979°		 →
↑
66.32 m
↓
↑
66.32 m
↓
N 77.461259°
W 92.831726°		 ← 66.31 m →
4 398 m²		 N 77.461259°
W 92.828979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242137908935547 y=0.148494720458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242137908935547 × 217)
    floor (0.242137908935547 × 131072)
    floor (31737.5)     		tx = 31737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148494720458984 × 217)
    floor (0.148494720458984 × 131072)
    floor (19463.5)     		ty = 19463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31737 / 19463 ti = "17/31737/19463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31737/19463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31737 ÷ 217
    31737 ÷ 131072     		x = 0.242134094238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19463 ÷ 217
    19463 ÷ 131072     		y = 0.148490905761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242134094238281 × 2 - 1) × π
    -0.515731811523438 × 3.1415926535     		Λ = -1.62021927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148490905761719 × 2 - 1) × π
    0.703018188476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.20859677619485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.62021927} λ = -1.62021927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20859677619485))-π/2
    2×atan(9.1029339731919)-π/2
    2×1.4613803739406-π/2
    2.92276074788121-1.57079632675     		φ = 1.35196442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.62021927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.831726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35196442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.461855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31737 KachelY 19463 -1.62021927 1.35196442 -92.831726 77.461855
    Oben rechts KachelX + 1 31738 KachelY 19463 -1.62017133 1.35196442 -92.828979 77.461855
    Unten links KachelX 31737 KachelY + 1 19464 -1.62021927 1.35195401 -92.831726 77.461259
    Unten rechts KachelX + 1 31738 KachelY + 1 19464 -1.62017133 1.35195401 -92.828979 77.461259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35196442-1.35195401) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dl = 66.3221100001035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35196442-1.35195401) × R
    1.04100000000162e-05 × 6371000     		dr = 66.3221100001035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.62021927--1.62017133) × cos(1.35196442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217089535279873 × 6371000     		do = 66.3047319590677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.62021927--1.62017133) × cos(1.35195401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.217099697007265 × 6371000     		du = 66.3078356121763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35196442)-sin(1.35195401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217089535279873-0.217099697007265)×R²
    abs(-1.62017133--1.62021927)×1.01617273927657e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01617273927657e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01617273927657e-05×40589641000000     		ar = 4397.57264715707m²