Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31736 / 21502
↖ ↑ ↗
← N 76.186307°
W 92.834473°		 ← 72.93 m → N 76.186307°
W 92.831726°		 →
↑
72.88 m
↓
↑
72.88 m
↓
N 76.185651°
W 92.834473°		 ← 72.93 m →
5 315 m²		 N 76.185651°
W 92.831726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242130279541016 y=0.164051055908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242130279541016 × 217)
    floor (0.242130279541016 × 131072)
    floor (31736.5)     		tx = 31736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164051055908203 × 217)
    floor (0.164051055908203 × 131072)
    floor (21502.5)     		ty = 21502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31736 / 21502 ti = "17/31736/21502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31736/21502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31736 ÷ 217
    31736 ÷ 131072     		x = 0.24212646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21502 ÷ 217
    21502 ÷ 131072     		y = 0.164047241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.24212646484375 × 2 - 1) × π
    -0.5157470703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.62026721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164047241210938 × 2 - 1) × π
    0.671905517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11085343786955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.62026721} λ = -1.62026721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11085343786955))-π/2
    2×atan(8.25528365077971)-π/2
    2×1.45024911530794-π/2
    2.90049823061589-1.57079632675     		φ = 1.32970190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.62026721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.834473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32970190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.186307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31736 KachelY 21502 -1.62026721 1.32970190 -92.834473 76.186307
    Oben rechts KachelX + 1 31737 KachelY 21502 -1.62021927 1.32970190 -92.831726 76.186307
    Unten links KachelX 31736 KachelY + 1 21503 -1.62026721 1.32969046 -92.834473 76.185651
    Unten rechts KachelX + 1 31737 KachelY + 1 21503 -1.62021927 1.32969046 -92.831726 76.185651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32970190-1.32969046) × R
    1.14400000001957e-05 × 6371000     		dl = 72.8842400012471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32970190-1.32969046) × R
    1.14400000001957e-05 × 6371000     		dr = 72.8842400012471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.62026721--1.62021927) × cos(1.32970190) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238765542164972 × 6371000     		do = 72.92514240219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.62026721--1.62021927) × cos(1.32969046) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.238776651273032 × 6371000     		du = 72.9285354097398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32970190)-sin(1.32969046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238765542164972-0.238776651273032)×R²
    abs(-1.62021927--1.62026721)×1.11091080594039e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11091080594039e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11091080594039e-05×40589641000000     		ar = 5315.21722944144m²