Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31733 / 38449
↖ ↑ ↗
← S 29.769146°
W  5.685425°		 ← 530.18 m → S 29.769146°
W  5.679932°		 →
↑
530.19 m
↓
↑
530.19 m
↓
S 29.773914°
W  5.685425°		 ← 530.16 m →
281 094 m²		 S 29.773914°
W  5.679932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484214782714844 y=0.586692810058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484214782714844 × 216)
    floor (0.484214782714844 × 65536)
    floor (31733.5)     		tx = 31733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586692810058594 × 216)
    floor (0.586692810058594 × 65536)
    floor (38449.5)     		ty = 38449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31733 / 38449 ti = "16/31733/38449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31733/38449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31733 ÷ 216
    31733 ÷ 65536     		x = 0.484207153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38449 ÷ 216
    38449 ÷ 65536     		y = 0.586685180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484207153320312 × 2 - 1) × π
    -0.031585693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09922938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586685180664062 × 2 - 1) × π
    -0.173370361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.544659053483078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09922938} λ = -0.09922938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544659053483078))-π/2
    2×atan(0.580039512081789)-π/2
    2×0.525613359104008-π/2
    1.05122671820802-1.57079632675     		φ = -0.51956961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09922938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.685425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51956961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.769146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31733 KachelY 38449 -0.09922938 -0.51956961 -5.685425 -29.769146
    Oben rechts KachelX + 1 31734 KachelY 38449 -0.09913351 -0.51956961 -5.679932 -29.769146
    Unten links KachelX 31733 KachelY + 1 38450 -0.09922938 -0.51965283 -5.685425 -29.773914
    Unten rechts KachelX + 1 31734 KachelY + 1 38450 -0.09913351 -0.51965283 -5.679932 -29.773914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51956961--0.51965283) × R
    8.32199999999395e-05 × 6371000     		dl = 530.194619999614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51956961--0.51965283) × R
    8.32199999999395e-05 × 6371000     		dr = 530.194619999614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09922938--0.09913351) × cos(-0.51956961) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.868032951538093 × 6371000     		do = 530.183910756535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09922938--0.09913351) × cos(-0.51965283) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.867991629253815 × 6371000     		du = 530.15867161067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51956961)-sin(-0.51965283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868032951538093-0.867991629253815)×R²
    abs(-0.09913351--0.09922938)×4.13222842776673e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.13222842776673e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.13222842776673e-05×40589641000000     		ar = 281093.966426029m²