Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31732 / 29716
↖ ↑ ↗
← N 69.637981°
W 92.845459°		 ← 106.25 m → N 69.637981°
W 92.842713°		 →
↑
106.27 m
↓
↑
106.27 m
↓
N 69.637026°
W 92.845459°		 ← 106.26 m →
11 291 m²		 N 69.637026°
W 92.842713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242099761962891 y=0.226718902587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242099761962891 × 217)
    floor (0.242099761962891 × 131072)
    floor (31732.5)     		tx = 31732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226718902587891 × 217)
    floor (0.226718902587891 × 131072)
    floor (29716.5)     		ty = 29716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31732 / 29716 ti = "17/31732/29716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31732/29716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31732 ÷ 217
    31732 ÷ 131072     		x = 0.242095947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29716 ÷ 217
    29716 ÷ 131072     		y = 0.226715087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242095947265625 × 2 - 1) × π
    -0.51580810546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.62045895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226715087890625 × 2 - 1) × π
    0.54656982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71709974439041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.62045895} λ = -1.62045895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71709974439041))-π/2
    2×atan(5.56835536866291)-π/2
    2×1.39310419298308-π/2
    2.78620838596617-1.57079632675     		φ = 1.21541206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.62045895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.845459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21541206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.637981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31732 KachelY 29716 -1.62045895 1.21541206 -92.845459 69.637981
    Oben rechts KachelX + 1 31733 KachelY 29716 -1.62041102 1.21541206 -92.842713 69.637981
    Unten links KachelX 31732 KachelY + 1 29717 -1.62045895 1.21539538 -92.845459 69.637026
    Unten rechts KachelX + 1 31733 KachelY + 1 29717 -1.62041102 1.21539538 -92.842713 69.637026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21541206-1.21539538) × R
    1.66800000001022e-05 × 6371000     		dl = 106.268280000651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21541206-1.21539538) × R
    1.66800000001022e-05 × 6371000     		dr = 106.268280000651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.62045895--1.62041102) × cos(1.21541206) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.347950645975157 × 6371000     		do = 106.25091559485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.62045895--1.62041102) × cos(1.21539538) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.347966283641126 × 6371000     		du = 106.255690744275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21541206)-sin(1.21539538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347950645975157-0.347966283641126)×R²
    abs(-1.62041102--1.62045895)×1.56376659695701e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56376659695701e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56376659695701e-05×40589641000000     		ar = 11291.3557722897m²