Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31730 / 38451
↖ ↑ ↗
← S 29.778682°
W  5.701904°		 ← 530.13 m → S 29.778682°
W  5.696411°		 →
↑
530.19 m
↓
↑
530.19 m
↓
S 29.783450°
W  5.701904°		 ← 530.11 m →
281 067 m²		 S 29.783450°
W  5.696411°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484169006347656 y=0.586723327636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484169006347656 × 216)
    floor (0.484169006347656 × 65536)
    floor (31730.5)     		tx = 31730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586723327636719 × 216)
    floor (0.586723327636719 × 65536)
    floor (38451.5)     		ty = 38451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31730 / 38451 ti = "16/31730/38451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31730/38451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31730 ÷ 216
    31730 ÷ 65536     		x = 0.484161376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38451 ÷ 216
    38451 ÷ 65536     		y = 0.586715698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484161376953125 × 2 - 1) × π
    -0.03167724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09951700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586715698242188 × 2 - 1) × π
    -0.173431396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.544850801081558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09951700} λ = -0.09951700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544850801081558))-π/2
    2×atan(0.57992830156084)-π/2
    2×0.525530141448782-π/2
    1.05106028289756-1.57079632675     		φ = -0.51973604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09951700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.701904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51973604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.778682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31730 KachelY 38451 -0.09951700 -0.51973604 -5.701904 -29.778682
    Oben rechts KachelX + 1 31731 KachelY 38451 -0.09942113 -0.51973604 -5.696411 -29.778682
    Unten links KachelX 31730 KachelY + 1 38452 -0.09951700 -0.51981926 -5.701904 -29.783450
    Unten rechts KachelX + 1 31731 KachelY + 1 38452 -0.09942113 -0.51981926 -5.696411 -29.783450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51973604--0.51981926) × R
    8.32200000000505e-05 × 6371000     		dl = 530.194620000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51973604--0.51981926) × R
    8.32200000000505e-05 × 6371000     		dr = 530.194620000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09951700--0.09942113) × cos(-0.51973604) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.867950305924713 × 6371000     		do = 530.133431826562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09951700--0.09942113) × cos(-0.51981926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.867908971618773 × 6371000     		du = 530.108185338012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51973604)-sin(-0.51981926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867950305924713-0.867908971618773)×R²
    abs(-0.09942113--0.09951700)×4.13343059399995e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.13343059399995e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.13343059399995e-05×40589641000000     		ar = 281067.200822799m²