Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31729 / 38452
↖ ↑ ↗
← S 29.783450°
W  5.707398°		 ← 530.16 m → S 29.783450°
W  5.701904°		 →
↑
530.07 m
↓
↑
530.07 m
↓
S 29.788217°
W  5.707398°		 ← 530.14 m →
281 016 m²		 S 29.788217°
W  5.701904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484153747558594 y=0.586738586425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484153747558594 × 216)
    floor (0.484153747558594 × 65536)
    floor (31729.5)     		tx = 31729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586738586425781 × 216)
    floor (0.586738586425781 × 65536)
    floor (38452.5)     		ty = 38452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31729 / 38452 ti = "16/31729/38452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31729/38452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31729 ÷ 216
    31729 ÷ 65536     		x = 0.484146118164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38452 ÷ 216
    38452 ÷ 65536     		y = 0.58673095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484146118164062 × 2 - 1) × π
    -0.031707763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09961288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58673095703125 × 2 - 1) × π
    -0.1734619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.544946674880798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09961288} λ = -0.09961288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544946674880798))-π/2
    2×atan(0.579872704296486)-π/2
    2×0.525488535592789-π/2
    1.05097707118558-1.57079632675     		φ = -0.51981926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09961288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.707398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51981926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.783450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31729 KachelY 38452 -0.09961288 -0.51981926 -5.707398 -29.783450
    Oben rechts KachelX + 1 31730 KachelY 38452 -0.09951700 -0.51981926 -5.701904 -29.783450
    Unten links KachelX 31729 KachelY + 1 38453 -0.09961288 -0.51990246 -5.707398 -29.788217
    Unten rechts KachelX + 1 31730 KachelY + 1 38453 -0.09951700 -0.51990246 -5.701904 -29.788217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51981926--0.51990246) × R
    8.319999999995e-05 × 6371000     		dl = 530.067199999681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51981926--0.51990246) × R
    8.319999999995e-05 × 6371000     		dr = 530.067199999681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09961288--0.09951700) × cos(-0.51981926) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.867908971618773 × 6371000     		do = 530.163479818642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09961288--0.09951700) × cos(-0.51990246) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.86786764123798 × 6371000     		du = 530.138233094365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51981926)-sin(-0.51990246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867908971618773-0.86786764123798)×R²
    abs(-0.09951700--0.09961288)×4.13303807929033e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.13303807929033e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.13303807929033e-05×40589641000000     		ar = 281015.580221414m²