Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31729 / 38448
↖ ↑ ↗
← S 29.764377°
W  5.707398°		 ← 530.26 m → S 29.764377°
W  5.701904°		 →
↑
530.26 m
↓
↑
530.26 m
↓
S 29.769146°
W  5.707398°		 ← 530.24 m →
281 170 m²		 S 29.769146°
W  5.701904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484153747558594 y=0.586677551269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484153747558594 × 216)
    floor (0.484153747558594 × 65536)
    floor (31729.5)     		tx = 31729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586677551269531 × 216)
    floor (0.586677551269531 × 65536)
    floor (38448.5)     		ty = 38448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31729 / 38448 ti = "16/31729/38448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31729/38448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31729 ÷ 216
    31729 ÷ 65536     		x = 0.484146118164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38448 ÷ 216
    38448 ÷ 65536     		y = 0.586669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484146118164062 × 2 - 1) × π
    -0.031707763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09961288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586669921875 × 2 - 1) × π
    -0.17333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.544563179683838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09961288} λ = -0.09961288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544563179683838))-π/2
    2×atan(0.580095125339407)-π/2
    2×0.525654970902852-π/2
    1.0513099418057-1.57079632675     		φ = -0.51948638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09961288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.707398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51948638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.764377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31729 KachelY 38448 -0.09961288 -0.51948638 -5.707398 -29.764377
    Oben rechts KachelX + 1 31730 KachelY 38448 -0.09951700 -0.51948638 -5.701904 -29.764377
    Unten links KachelX 31729 KachelY + 1 38449 -0.09961288 -0.51956961 -5.707398 -29.769146
    Unten rechts KachelX + 1 31730 KachelY + 1 38449 -0.09951700 -0.51956961 -5.701904 -29.769146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51948638--0.51956961) × R
    8.32299999999897e-05 × 6371000     		dl = 530.258329999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51948638--0.51956961) × R
    8.32299999999897e-05 × 6371000     		dr = 530.258329999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09961288--0.09951700) × cos(-0.51948638) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.868074272775093 × 6371000     		do = 530.264454274625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09961288--0.09951700) × cos(-0.51956961) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.868032951538093 × 6371000     		du = 530.239213135849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51948638)-sin(-0.51956961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868074272775093-0.868032951538093)×R²
    abs(-0.09951700--0.09961288)×4.13212369995142e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.13212369995142e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.13212369995142e-05×40589641000000     		ar = 281170.45198222m²