Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31728 / 21391
↖ ↑ ↗
← S 48.100095°
E168.574219°		 ← 815.85 m → S 48.100095°
E168.585205°		 →
↑
815.81 m
↓
↑
815.81 m
↓
S 48.107431°
E168.574219°		 ← 815.73 m →
665 527 m²		 S 48.107431°
E168.585205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968276977539062 y=0.652816772460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968276977539062 × 215)
    floor (0.968276977539062 × 32768)
    floor (31728.5)     		tx = 31728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652816772460938 × 215)
    floor (0.652816772460938 × 32768)
    floor (21391.5)     		ty = 21391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31728 / 21391 ti = "15/31728/21391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31728/21391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31728 ÷ 215
    31728 ÷ 32768     		x = 0.96826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21391 ÷ 215
    21391 ÷ 32768     		y = 0.652801513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.96826171875 × 2 - 1) × π
    0.9365234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.94217515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652801513671875 × 2 - 1) × π
    -0.30560302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.960080225590485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94217515} λ = 2.94217515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.960080225590485))-π/2
    2×atan(0.382862169399386)-π/2
    2×0.365645651906256-π/2
    0.731291303812512-1.57079632675     		φ = -0.83950502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94217515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.574219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83950502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.100095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31728 KachelY 21391 2.94217515 -0.83950502 168.574219 -48.100095
    Oben rechts KachelX + 1 31729 KachelY 21391 2.94236690 -0.83950502 168.585205 -48.100095
    Unten links KachelX 31728 KachelY + 1 21392 2.94217515 -0.83963307 168.574219 -48.107431
    Unten rechts KachelX + 1 31729 KachelY + 1 21392 2.94236690 -0.83963307 168.585205 -48.107431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83950502--0.83963307) × R
    0.000128049999999935 × 6371000     		dl = 815.806549999587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83950502--0.83963307) × R
    0.000128049999999935 × 6371000     		dr = 815.806549999587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94217515-2.94236690) × cos(-0.83950502) × R
    0.000191749999999935 × 0.66783132751185 × 6371000     		do = 815.848962067805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94217515-2.94236690) × cos(-0.83963307) × R
    0.000191749999999935 × 0.667736012802383 × 6371000     		du = 815.732521877618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83950502)-sin(-0.83963307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66783132751185-0.667736012802383)×R²
    abs(2.94236690-2.94217515)×9.53147094668871e-05×R²
    0.000191749999999935×9.53147094668871e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.53147094668871e-05×40589641000000     		ar = 665527.431639522m²