Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31727 / 35827
↖ ↑ ↗
← S 16.567758°
W  5.718384°		 ← 585.49 m → S 16.567758°
W  5.712891°		 →
↑
585.43 m
↓
↑
585.43 m
↓
S 16.573023°
W  5.718384°		 ← 585.47 m →
342 760 m²		 S 16.573023°
W  5.712891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484123229980469 y=0.546684265136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484123229980469 × 216)
    floor (0.484123229980469 × 65536)
    floor (31727.5)     		tx = 31727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546684265136719 × 216)
    floor (0.546684265136719 × 65536)
    floor (35827.5)     		ty = 35827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31727 / 35827 ti = "16/31727/35827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31727/35827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31727 ÷ 216
    31727 ÷ 65536     		x = 0.484115600585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35827 ÷ 216
    35827 ÷ 65536     		y = 0.546676635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484115600585938 × 2 - 1) × π
    -0.031768798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09980463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546676635742188 × 2 - 1) × π
    -0.093353271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.293277951875504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09980463} λ = -0.09980463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.293277951875504))-π/2
    2×atan(0.745814811259185)-π/2
    2×0.640817202757013-π/2
    1.28163440551403-1.57079632675     		φ = -0.28916192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09980463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.718384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28916192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.567758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31727 KachelY 35827 -0.09980463 -0.28916192 -5.718384 -16.567758
    Oben rechts KachelX + 1 31728 KachelY 35827 -0.09970875 -0.28916192 -5.712891 -16.567758
    Unten links KachelX 31727 KachelY + 1 35828 -0.09980463 -0.28925381 -5.718384 -16.573023
    Unten rechts KachelX + 1 31728 KachelY + 1 35828 -0.09970875 -0.28925381 -5.712891 -16.573023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28916192--0.28925381) × R
    9.18899999999834e-05 × 6371000     		dl = 585.431189999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28916192--0.28925381) × R
    9.18899999999834e-05 × 6371000     		dr = 585.431189999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09980463--0.09970875) × cos(-0.28916192) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.958483189800729 × 6371000     		do = 585.490875044936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09980463--0.09970875) × cos(-0.28925381) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.958456983408896 × 6371000     		du = 585.4748668317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28916192)-sin(-0.28925381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958483189800729-0.958456983408896)×R²
    abs(-0.09970875--0.09980463)×2.62063918323729e-05×R²
    9.58800000000065e-05×2.62063918323729e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×2.62063918323729e-05×40589641000000     		ar = 342759.934099217m²