Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31726 / 35828
↖ ↑ ↗
← S 16.573023°
W  5.723877°		 ← 585.41 m → S 16.573023°
W  5.718384°		 →
↑
585.43 m
↓
↑
585.43 m
↓
S 16.578287°
W  5.723877°		 ← 585.40 m →
342 715 m²		 S 16.578287°
W  5.718384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484107971191406 y=0.546699523925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484107971191406 × 216)
    floor (0.484107971191406 × 65536)
    floor (31726.5)     		tx = 31726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546699523925781 × 216)
    floor (0.546699523925781 × 65536)
    floor (35828.5)     		ty = 35828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31726 / 35828 ti = "16/31726/35828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31726/35828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31726 ÷ 216
    31726 ÷ 65536     		x = 0.484100341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35828 ÷ 216
    35828 ÷ 65536     		y = 0.54669189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484100341796875 × 2 - 1) × π
    -0.03179931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.09990050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.54669189453125 × 2 - 1) × π
    -0.0933837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.293373825674744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09990050} λ = -0.09990050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.293373825674744))-π/2
    2×atan(0.745743310587276)-π/2
    2×0.640771256672685-π/2
    1.28154251334537-1.57079632675     		φ = -0.28925381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09990050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.723877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28925381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.573023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31726 KachelY 35828 -0.09990050 -0.28925381 -5.723877 -16.573023
    Oben rechts KachelX + 1 31727 KachelY 35828 -0.09980463 -0.28925381 -5.718384 -16.573023
    Unten links KachelX 31726 KachelY + 1 35829 -0.09990050 -0.28934570 -5.723877 -16.578287
    Unten rechts KachelX + 1 31727 KachelY + 1 35829 -0.09980463 -0.28934570 -5.718384 -16.578287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28925381--0.28934570) × R
    9.18899999999834e-05 × 6371000     		dl = 585.431189999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28925381--0.28934570) × R
    9.18899999999834e-05 × 6371000     		dr = 585.431189999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09990050--0.09980463) × cos(-0.28925381) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.958456983408896 × 6371000     		do = 585.413803537234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09990050--0.09980463) × cos(-0.28934570) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.958430768924072 × 6371000     		du = 585.397792050506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28925381)-sin(-0.28934570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958456983408896-0.958430768924072)×R²
    abs(-0.09980463--0.09990050)×2.62144848247603e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.62144848247603e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.62144848247603e-05×40589641000000     		ar = 342714.813076453m²