Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31725 / 29738
↖ ↑ ↗
← N 69.616946°
W 92.864685°		 ← 106.36 m → N 69.616946°
W 92.861939°		 →
↑
106.33 m
↓
↑
106.33 m
↓
N 69.615990°
W 92.864685°		 ← 106.36 m →
11 309 m²		 N 69.615990°
W 92.861939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242046356201172 y=0.226886749267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242046356201172 × 217)
    floor (0.242046356201172 × 131072)
    floor (31725.5)     		tx = 31725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226886749267578 × 217)
    floor (0.226886749267578 × 131072)
    floor (29738.5)     		ty = 29738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31725 / 29738 ti = "17/31725/29738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31725/29738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31725 ÷ 217
    31725 ÷ 131072     		x = 0.242042541503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29738 ÷ 217
    29738 ÷ 131072     		y = 0.226882934570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242042541503906 × 2 - 1) × π
    -0.515914916992188 × 3.1415926535     		Λ = -1.62079451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226882934570312 × 2 - 1) × π
    0.546234130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71604513259877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.62079451} λ = -1.62079451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71604513259877))-π/2
    2×atan(5.56248601092201)-π/2
    2×1.39292062582714-π/2
    2.78584125165427-1.57079632675     		φ = 1.21504492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.62079451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.864685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21504492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.616946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31725 KachelY 29738 -1.62079451 1.21504492 -92.864685 69.616946
    Oben rechts KachelX + 1 31726 KachelY 29738 -1.62074658 1.21504492 -92.861939 69.616946
    Unten links KachelX 31725 KachelY + 1 29739 -1.62079451 1.21502823 -92.864685 69.615990
    Unten rechts KachelX + 1 31726 KachelY + 1 29739 -1.62074658 1.21502823 -92.861939 69.615990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21504492-1.21502823) × R
    1.66900000000414e-05 × 6371000     		dl = 106.331990000264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21504492-1.21502823) × R
    1.66900000000414e-05 × 6371000     		dr = 106.331990000264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.62079451--1.62074658) × cos(1.21504492) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.348294820985523 × 6371000     		do = 106.356013574691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.62079451--1.62074658) × cos(1.21502823) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.34831046589337 × 6371000     		du = 106.36079093551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21504492)-sin(1.21502823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348294820985523-0.34831046589337)×R²
    abs(-1.62074658--1.62079451)×1.56449078467791e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56449078467791e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56449078467791e-05×40589641000000     		ar = 11309.3005652693m²