Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31725 / 21393
↖ ↑ ↗
← S 48.114767°
E168.541260°		 ← 815.62 m → S 48.114767°
E168.552246°		 →
↑
815.55 m
↓
↑
815.55 m
↓
S 48.122101°
E168.541260°		 ← 815.50 m →
665 130 m²		 S 48.122101°
E168.552246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968185424804688 y=0.652877807617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968185424804688 × 215)
    floor (0.968185424804688 × 32768)
    floor (31725.5)     		tx = 31725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652877807617188 × 215)
    floor (0.652877807617188 × 32768)
    floor (21393.5)     		ty = 21393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31725 / 21393 ti = "15/31725/21393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31725/21393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31725 ÷ 215
    31725 ÷ 32768     		x = 0.968170166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21393 ÷ 215
    21393 ÷ 32768     		y = 0.652862548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.968170166015625 × 2 - 1) × π
    0.93634033203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.94159991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652862548828125 × 2 - 1) × π
    -0.30572509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.960463720787445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94159991} λ = 2.94159991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.960463720787445))-π/2
    2×atan(0.382715371746221)-π/2
    2×0.36551761512914-π/2
    0.73103523025828-1.57079632675     		φ = -0.83976110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94159991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.541260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83976110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.114767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31725 KachelY 21393 2.94159991 -0.83976110 168.541260 -48.114767
    Oben rechts KachelX + 1 31726 KachelY 21393 2.94179166 -0.83976110 168.552246 -48.114767
    Unten links KachelX 31725 KachelY + 1 21394 2.94159991 -0.83988911 168.541260 -48.122101
    Unten rechts KachelX + 1 31726 KachelY + 1 21394 2.94179166 -0.83988911 168.552246 -48.122101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83976110--0.83988911) × R
    0.000128009999999956 × 6371000     		dl = 815.551709999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83976110--0.83988911) × R
    0.000128009999999956 × 6371000     		dr = 815.551709999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94159991-2.94179166) × cos(-0.83976110) × R
    0.000191749999999935 × 0.667640702033854 × 6371000     		do = 815.616086501835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94159991-2.94179166) × cos(-0.83988911) × R
    0.000191749999999935 × 0.667545395212953 × 6371000     		du = 815.49965594863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83976110)-sin(-0.83988911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667640702033854-0.667545395212953)×R²
    abs(2.94179166-2.94159991)×9.53068209006425e-05×R²
    0.000191749999999935×9.53068209006425e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.53068209006425e-05×40589641000000     		ar = 665129.617389802m²