Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31724 / 29740
↖ ↑ ↗
← N 69.615033°
W 92.867432°		 ← 106.39 m → N 69.615033°
W 92.864685°		 →
↑
106.40 m
↓
↑
106.40 m
↓
N 69.614076°
W 92.867432°		 ← 106.39 m →
11 319 m²		 N 69.614076°
W 92.864685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.242038726806641 y=0.226902008056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.242038726806641 × 217)
    floor (0.242038726806641 × 131072)
    floor (31724.5)     		tx = 31724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226902008056641 × 217)
    floor (0.226902008056641 × 131072)
    floor (29740.5)     		ty = 29740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31724 / 29740 ti = "17/31724/29740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31724/29740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31724 ÷ 217
    31724 ÷ 131072     		x = 0.242034912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29740 ÷ 217
    29740 ÷ 131072     		y = 0.226898193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.242034912109375 × 2 - 1) × π
    -0.51593017578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.62084245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226898193359375 × 2 - 1) × π
    0.54620361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71594925879953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.62084245} λ = -1.62084245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71594925879953))-π/2
    2×atan(5.56195273981869)-π/2
    2×1.39290392890322-π/2
    2.78580785780643-1.57079632675     		φ = 1.21501153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.62084245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.867432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21501153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.615033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31724 KachelY 29740 -1.62084245 1.21501153 -92.867432 69.615033
    Oben rechts KachelX + 1 31725 KachelY 29740 -1.62079451 1.21501153 -92.864685 69.615033
    Unten links KachelX 31724 KachelY + 1 29741 -1.62084245 1.21499483 -92.867432 69.614076
    Unten rechts KachelX + 1 31725 KachelY + 1 29741 -1.62079451 1.21499483 -92.864685 69.614076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21501153-1.21499483) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dl = 106.395699999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21501153-1.21499483) × R
    1.66999999999806e-05 × 6371000     		dr = 106.395699999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.62084245--1.62079451) × cos(1.21501153) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348326120077927 × 6371000     		do = 106.38776298606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.62084245--1.62079451) × cos(1.21499483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348341774165339 × 6371000     		du = 106.392544147292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21501153)-sin(1.21499483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348326120077927-0.348341774165339)×R²
    abs(-1.62079451--1.62084245)×1.56540874121647e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56540874121647e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56540874121647e-05×40589641000000     		ar = 11319.454862076m²