Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31723 / 21386
↖ ↑ ↗
← S 48.063397°
E168.519287°		 ← 816.43 m → S 48.063397°
E168.530273°		 →
↑
816.38 m
↓
↑
816.38 m
↓
S 48.070738°
E168.519287°		 ← 816.31 m →
666 471 m²		 S 48.070738°
E168.530273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968124389648438 y=0.652664184570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968124389648438 × 215)
    floor (0.968124389648438 × 32768)
    floor (31723.5)     		tx = 31723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652664184570312 × 215)
    floor (0.652664184570312 × 32768)
    floor (21386.5)     		ty = 21386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31723 / 21386 ti = "15/31723/21386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31723/21386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31723 ÷ 215
    31723 ÷ 32768     		x = 0.968109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21386 ÷ 215
    21386 ÷ 32768     		y = 0.65264892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.968109130859375 × 2 - 1) × π
    0.93621826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.94121641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65264892578125 × 2 - 1) × π
    -0.3052978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.959121487598083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94121641} λ = 2.94121641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.959121487598083))-π/2
    2×atan(0.383229409922634)-π/2
    2×0.365965903768813-π/2
    0.731931807537625-1.57079632675     		φ = -0.83886452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94121641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.519287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83886452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.063397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31723 KachelY 21386 2.94121641 -0.83886452 168.519287 -48.063397
    Oben rechts KachelX + 1 31724 KachelY 21386 2.94140816 -0.83886452 168.530273 -48.063397
    Unten links KachelX 31723 KachelY + 1 21387 2.94121641 -0.83899266 168.519287 -48.070738
    Unten rechts KachelX + 1 31724 KachelY + 1 21387 2.94140816 -0.83899266 168.530273 -48.070738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83886452--0.83899266) × R
    0.000128139999999943 × 6371000     		dl = 816.379939999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83886452--0.83899266) × R
    0.000128139999999943 × 6371000     		dr = 816.379939999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94121641-2.94140816) × cos(-0.83886452) × R
    0.000191749999999935 × 0.668307922744667 × 6371000     		do = 816.431189510576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94121641-2.94140816) × cos(-0.83899266) × R
    0.000191749999999935 × 0.668212595866378 × 6371000     		du = 816.314734454479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83886452)-sin(-0.83899266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668307922744667-0.668212595866378)×R²
    abs(2.94140816-2.94121641)×9.53268782889483e-05×R²
    0.000191749999999935×9.53268782889483e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.53268782889483e-05×40589641000000     		ar = 666470.510632686m²