Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31722 / 21416
↖ ↑ ↗
← S 48.283193°
E168.508301°		 ← 812.90 m → S 48.283193°
E168.519287°		 →
↑
812.88 m
↓
↑
812.88 m
↓
S 48.290503°
E168.508301°		 ← 812.78 m →
660 737 m²		 S 48.290503°
E168.519287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.968093872070312 y=0.653579711914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.968093872070312 × 215)
    floor (0.968093872070312 × 32768)
    floor (31722.5)     		tx = 31722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653579711914062 × 215)
    floor (0.653579711914062 × 32768)
    floor (21416.5)     		ty = 21416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31722 / 21416 ti = "15/31722/21416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31722/21416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31722 ÷ 215
    31722 ÷ 32768     		x = 0.96807861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21416 ÷ 215
    21416 ÷ 32768     		y = 0.653564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.96807861328125 × 2 - 1) × π
    0.9361572265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.94102467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653564453125 × 2 - 1) × π
    -0.30712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.96487391555249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.94102467} λ = 2.94102467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.96487391555249))-π/2
    2×atan(0.381031238824014)-π/2
    2×0.364047818705764-π/2
    0.728095637411527-1.57079632675     		φ = -0.84270069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.94102467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.508301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84270069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.283193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31722 KachelY 21416 2.94102467 -0.84270069 168.508301 -48.283193
    Oben rechts KachelX + 1 31723 KachelY 21416 2.94121641 -0.84270069 168.519287 -48.283193
    Unten links KachelX 31722 KachelY + 1 21417 2.94102467 -0.84282828 168.508301 -48.290503
    Unten rechts KachelX + 1 31723 KachelY + 1 21417 2.94121641 -0.84282828 168.519287 -48.290503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84270069--0.84282828) × R
    0.000127589999999955 × 6371000     		dl = 812.875889999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84270069--0.84282828) × R
    0.000127589999999955 × 6371000     		dr = 812.875889999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.94102467-2.94121641) × cos(-0.84270069) × R
    0.000191739999999996 × 0.665449343914145 × 6371000     		do = 812.89664163455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.94102467-2.94121641) × cos(-0.84282828) × R
    0.000191739999999996 × 0.665354099833964 × 6371000     		du = 812.780293795871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84270069)-sin(-0.84282828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665449343914145-0.665354099833964)×R²
    abs(2.94121641-2.94102467)×9.52440801813559e-05×R²
    0.000191739999999996×9.52440801813559e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.52440801813559e-05×40589641000000     		ar = 660736.79376648m²