Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31721 / 38455
↖ ↑ ↗
← S 29.797751°
W  5.751343°		 ← 530.09 m → S 29.797751°
W  5.745849°		 →
↑
530 m
↓
↑
530 m
↓
S 29.802518°
W  5.751343°		 ← 530.06 m →
280 942 m²		 S 29.802518°
W  5.745849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484031677246094 y=0.586784362792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484031677246094 × 216)
    floor (0.484031677246094 × 65536)
    floor (31721.5)     		tx = 31721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586784362792969 × 216)
    floor (0.586784362792969 × 65536)
    floor (38455.5)     		ty = 38455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31721 / 38455 ti = "16/31721/38455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31721/38455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31721 ÷ 216
    31721 ÷ 65536     		x = 0.484024047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38455 ÷ 216
    38455 ÷ 65536     		y = 0.586776733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484024047851562 × 2 - 1) × π
    -0.031951904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10037987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586776733398438 × 2 - 1) × π
    -0.173553466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.545234296278519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10037987} λ = -0.10037987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.545234296278519))-π/2
    2×atan(0.579705944481771)-π/2
    2×0.525363729913613-π/2
    1.05072745982723-1.57079632675     		φ = -0.52006887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10037987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.751343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52006887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.797751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31721 KachelY 38455 -0.10037987 -0.52006887 -5.751343 -29.797751
    Oben rechts KachelX + 1 31722 KachelY 38455 -0.10028399 -0.52006887 -5.745849 -29.797751
    Unten links KachelX 31721 KachelY + 1 38456 -0.10037987 -0.52015206 -5.751343 -29.802518
    Unten rechts KachelX + 1 31722 KachelY + 1 38456 -0.10028399 -0.52015206 -5.745849 -29.802518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52006887--0.52015206) × R
    8.31900000000108e-05 × 6371000     		dl = 530.003490000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52006887--0.52015206) × R
    8.31900000000108e-05 × 6371000     		dr = 530.003490000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10037987--0.10028399) × cos(-0.52006887) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.867784957484517 × 6371000     		do = 530.087725601114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10037987--0.10028399) × cos(-0.52015206) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.867743614051217 × 6371000     		du = 530.062470903694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52006887)-sin(-0.52015206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867784957484517-0.867743614051217)×R²
    abs(-0.10028399--0.10037987)×4.13434332997564e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.13434332997564e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.13434332997564e-05×40589641000000     		ar = 280941.652197788m²