Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31721 / 35826
↖ ↑ ↗
← S 16.562493°
W  5.751343°		 ← 585.51 m → S 16.562493°
W  5.745849°		 →
↑
585.43 m
↓
↑
585.43 m
↓
S 16.567758°
W  5.751343°		 ← 585.49 m →
342 769 m²		 S 16.567758°
W  5.745849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484031677246094 y=0.546669006347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484031677246094 × 216)
    floor (0.484031677246094 × 65536)
    floor (31721.5)     		tx = 31721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.546669006347656 × 216)
    floor (0.546669006347656 × 65536)
    floor (35826.5)     		ty = 35826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31721 / 35826 ti = "16/31721/35826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31721/35826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31721 ÷ 216
    31721 ÷ 65536     		x = 0.484024047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35826 ÷ 216
    35826 ÷ 65536     		y = 0.546661376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484024047851562 × 2 - 1) × π
    -0.031951904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10037987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.546661376953125 × 2 - 1) × π
    -0.09332275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.293182078076263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10037987} λ = -0.10037987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.293182078076263))-π/2
    2×atan(0.745886318786465)-π/2
    2×0.640863150097446-π/2
    1.28172630019489-1.57079632675     		φ = -0.28907003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10037987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.751343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.28907003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -16.562493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31721 KachelY 35826 -0.10037987 -0.28907003 -5.751343 -16.562493
    Oben rechts KachelX + 1 31722 KachelY 35826 -0.10028399 -0.28907003 -5.745849 -16.562493
    Unten links KachelX 31721 KachelY + 1 35827 -0.10037987 -0.28916192 -5.751343 -16.567758
    Unten rechts KachelX + 1 31722 KachelY + 1 35827 -0.10028399 -0.28916192 -5.745849 -16.567758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.28907003--0.28916192) × R
    9.18900000000389e-05 × 6371000     		dl = 585.431190000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.28907003--0.28916192) × R
    9.18900000000389e-05 × 6371000     		dr = 585.431190000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10037987--0.10028399) × cos(-0.28907003) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.958509388099347 × 6371000     		do = 585.506878314336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10037987--0.10028399) × cos(-0.28916192) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.958483189800729 × 6371000     		du = 585.490875044851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.28907003)-sin(-0.28916192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.958509388099347-0.958483189800729)×R²
    abs(-0.10028399--0.10037987)×2.61982986188292e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.61982986188292e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.61982986188292e-05×40589641000000     		ar = 342769.304359633m²