Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3172 / 3012
S 64.320872°
E 98.789063°
← 4 234.94 m → S 64.320872°
E 98.876953°

4 232 m

4 232 m
S 64.358931°
E 98.789063°
← 4 229.08 m →
17 909 871 m²
S 64.358931°
E 98.876953°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7745361328125 y=0.7354736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7745361328125 × 212)
    floor (0.7745361328125 × 4096)
    floor (3172.5)
    tx = 3172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7354736328125 × 212)
    floor (0.7354736328125 × 4096)
    floor (3012.5)
    ty = 3012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3172 / 3012 ti = "12/3172/3012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3172/3012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3172 ÷ 212
    3172 ÷ 4096
    x = 0.7744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3012 ÷ 212
    3012 ÷ 4096
    y = 0.7353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.7744140625 × 2 - 1) × π
    0.548828125 × 3.1415926535
    Λ = 1.72419441
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.7353515625 × 2 - 1) × π
    -0.470703125 × 3.1415926535
    Φ = -1.47875747947949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72419441} λ = 1.72419441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47875747947949))-π/2
    2×atan(0.227920708675719)-π/2
    2×0.224092669995727-π/2
    0.448185339991453-1.57079632675
    φ = -1.12261099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72419441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12261099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.320872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3172 KachelY 3012 1.72419441 -1.12261099 98.789063 -64.320872
    Oben rechts KachelX + 1 3173 KachelY 3012 1.72572839 -1.12261099 98.876953 -64.320872
    Unten links KachelX 3172 KachelY + 1 3013 1.72419441 -1.12327525 98.789063 -64.358931
    Unten rechts KachelX + 1 3173 KachelY + 1 3013 1.72572839 -1.12327525 98.876953 -64.358931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.12261099--1.12327525) × R
    0.000664259999999972 × 6371000
    dl = 4232.00045999982m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.12261099--1.12327525) × R
    0.000664259999999972 × 6371000
    dr = 4232.00045999982m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.72419441-1.72572839) × cos(-1.12261099) × R
    0.00153398000000005 × 0.433330810612138 × 6371000
    do = 4234.93619681307m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.72419441-1.72572839) × cos(-1.12327525) × R
    0.00153398000000005 × 0.43273206073632 × 6371000
    du = 4229.08462231193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.12261099)-sin(-1.12327525))×
    abs(λ12)×abs(0.433330810612138-0.43273206073632)×
    abs(1.72572839-1.72419441)×0.00059874987581765×
    0.00153398000000005×0.00059874987581765×6371000²
    0.00153398000000005×0.00059874987581765×40589641000000
    ar = 17909870.6585359m²