Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3172 / 3009
↖ ↑ ↗
← S 64.206377°
E 98.789063°		 ← 4 252.53 m → S 64.206377°
E 98.876953°		 →
↑
4 249.65 m
↓
↑
4 249.65 m
↓
S 64.244595°
E 98.789063°		 ← 4 246.66 m →
18 059 276 m²		 S 64.244595°
E 98.876953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7745361328125 y=0.7347412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7745361328125 × 212)
    floor (0.7745361328125 × 4096)
    floor (3172.5)     		tx = 3172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7347412109375 × 212)
    floor (0.7347412109375 × 4096)
    floor (3009.5)     		ty = 3009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3172 / 3009 ti = "12/3172/3009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3172/3009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3172 ÷ 212
    3172 ÷ 4096     		x = 0.7744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3009 ÷ 212
    3009 ÷ 4096     		y = 0.734619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7744140625 × 2 - 1) × π
    0.548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.72419441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734619140625 × 2 - 1) × π
    -0.46923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47415553711597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72419441} λ = 1.72419441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47415553711597))-π/2
    2×atan(0.228972003784899)-π/2
    2×0.225091821570841-π/2
    0.450183643141682-1.57079632675     		φ = -1.12061268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72419441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12061268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.206377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3172 KachelY 3009 1.72419441 -1.12061268 98.789063 -64.206377
    Oben rechts KachelX + 1 3173 KachelY 3009 1.72572839 -1.12061268 98.876953 -64.206377
    Unten links KachelX 3172 KachelY + 1 3010 1.72419441 -1.12127971 98.789063 -64.244595
    Unten rechts KachelX + 1 3173 KachelY + 1 3010 1.72572839 -1.12127971 98.876953 -64.244595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12061268--1.12127971) × R
    0.000667030000000013 × 6371000     		dl = 4249.64813000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12061268--1.12127971) × R
    0.000667030000000013 × 6371000     		dr = 4249.64813000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72419441-1.72572839) × cos(-1.12061268) × R
    0.00153398000000005 × 0.435130890999766 × 6371000     		do = 4252.52835828429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72419441-1.72572839) × cos(-1.12127971) × R
    0.00153398000000005 × 0.434530222304944 × 6371000     		du = 4246.65803119076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12061268)-sin(-1.12127971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.435130890999766-0.434530222304944)×R²
    abs(1.72572839-1.72419441)×0.00060066869482206×R²
    0.00153398000000005×0.00060066869482206×6371000²
    0.00153398000000005×0.00060066869482206×40589641000000     		ar = 18059276.4428691m²