Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3171 / 3060
↖ ↑ ↗
← S 66.089364°
E 98.701172°		 ← 3 961.13 m → S 66.089364°
E 98.789063°		 →
↑
3 958.30 m
↓
↑
3 958.30 m
↓
S 66.124962°
E 98.701172°		 ← 3 955.58 m →
15 668 353 m²		 S 66.124962°
E 98.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7742919921875 y=0.7471923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7742919921875 × 212)
    floor (0.7742919921875 × 4096)
    floor (3171.5)     		tx = 3171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7471923828125 × 212)
    floor (0.7471923828125 × 4096)
    floor (3060.5)     		ty = 3060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3171 / 3060 ti = "12/3171/3060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3171/3060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3171 ÷ 212
    3171 ÷ 4096     		x = 0.774169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3060 ÷ 212
    3060 ÷ 4096     		y = 0.7470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774169921875 × 2 - 1) × π
    0.54833984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72266042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7470703125 × 2 - 1) × π
    -0.494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5523885572959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72266042} λ = 1.72266042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5523885572959))-π/2
    2×atan(0.211741612357751)-π/2
    2×0.208659659871632-π/2
    0.417319319743264-1.57079632675     		φ = -1.15347701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72266042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.701172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15347701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.089364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3171 KachelY 3060 1.72266042 -1.15347701 98.701172 -66.089364
    Oben rechts KachelX + 1 3172 KachelY 3060 1.72419441 -1.15347701 98.789063 -66.089364
    Unten links KachelX 3171 KachelY + 1 3061 1.72266042 -1.15409831 98.701172 -66.124962
    Unten rechts KachelX + 1 3172 KachelY + 1 3061 1.72419441 -1.15409831 98.789063 -66.124962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15347701--1.15409831) × R
    0.000621299999999936 × 6371000     		dl = 3958.30229999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15347701--1.15409831) × R
    0.000621299999999936 × 6371000     		dr = 3958.30229999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72266042-1.72419441) × cos(-1.15347701) × R
    0.00153398999999999 × 0.405311288708903 × 6371000     		do = 3961.12760765678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72266042-1.72419441) × cos(-1.15409831) × R
    0.00153398999999999 × 0.404743231269634 × 6371000     		du = 3955.57595373519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15347701)-sin(-1.15409831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405311288708903-0.404743231269634)×R²
    abs(1.72419441-1.72266042)×0.000568057439269187×R²
    0.00153398999999999×0.000568057439269187×6371000²
    0.00153398999999999×0.000568057439269187×40589641000000     		ar = 15668353.4617557m²