Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3171 / 3057
↖ ↑ ↗
← S 65.982270°
E 98.701172°		 ← 3 977.82 m → S 65.982270°
E 98.789063°		 →
↑
3 974.99 m
↓
↑
3 974.99 m
↓
S 66.018018°
E 98.701172°		 ← 3 972.25 m →
15 800 742 m²		 S 66.018018°
E 98.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7742919921875 y=0.7464599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7742919921875 × 212)
    floor (0.7742919921875 × 4096)
    floor (3171.5)     		tx = 3171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7464599609375 × 212)
    floor (0.7464599609375 × 4096)
    floor (3057.5)     		ty = 3057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3171 / 3057 ti = "12/3171/3057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3171/3057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3171 ÷ 212
    3171 ÷ 4096     		x = 0.774169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3057 ÷ 212
    3057 ÷ 4096     		y = 0.746337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.774169921875 × 2 - 1) × π
    0.54833984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.72266042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746337890625 × 2 - 1) × π
    -0.49267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54778661493237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72266042} λ = 1.72266042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54778661493237))-π/2
    2×atan(0.212718280615652)-π/2
    2×0.209594233426382-π/2
    0.419188466852763-1.57079632675     		φ = -1.15160786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72266042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.701172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15160786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.982270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3171 KachelY 3057 1.72266042 -1.15160786 98.701172 -65.982270
    Oben rechts KachelX + 1 3172 KachelY 3057 1.72419441 -1.15160786 98.789063 -65.982270
    Unten links KachelX 3171 KachelY + 1 3058 1.72266042 -1.15223178 98.701172 -66.018018
    Unten rechts KachelX + 1 3172 KachelY + 1 3058 1.72419441 -1.15223178 98.789063 -66.018018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15160786--1.15223178) × R
    0.00062392 × 6371000     		dl = 3974.99432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15160786--1.15223178) × R
    0.00062392 × 6371000     		dr = 3974.99432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72266042-1.72419441) × cos(-1.15160786) × R
    0.00153398999999999 × 0.407019316873945 × 6371000     		do = 3977.82025281047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72266042-1.72419441) × cos(-1.15223178) × R
    0.00153398999999999 × 0.406449336963359 × 6371000     		du = 3972.24981048003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15160786)-sin(-1.15223178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407019316873945-0.406449336963359)×R²
    abs(1.72419441-1.72266042)×0.000569979910585938×R²
    0.00153398999999999×0.000569979910585938×6371000²
    0.00153398999999999×0.000569979910585938×40589641000000     		ar = 15800742.1851635m²