Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31709 / 37578
↖ ↑ ↗
← S 25.532529°
W  5.817261°		 ← 551.14 m → S 25.532529°
W  5.811768°		 →
↑
551.16 m
↓
↑
551.16 m
↓
S 25.537485°
W  5.817261°		 ← 551.12 m →
303 757 m²		 S 25.537485°
W  5.811768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483848571777344 y=0.573402404785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483848571777344 × 216)
    floor (0.483848571777344 × 65536)
    floor (31709.5)     		tx = 31709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573402404785156 × 216)
    floor (0.573402404785156 × 65536)
    floor (37578.5)     		ty = 37578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31709 / 37578 ti = "16/31709/37578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31709/37578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31709 ÷ 216
    31709 ÷ 65536     		x = 0.483840942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37578 ÷ 216
    37578 ÷ 65536     		y = 0.573394775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483840942382812 × 2 - 1) × π
    -0.032318115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10153035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573394775390625 × 2 - 1) × π
    -0.14678955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.46115297434494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10153035} λ = -0.10153035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.46115297434494))-π/2
    2×atan(0.630556211096467)-π/2
    2×0.562584819335839-π/2
    1.12516963867168-1.57079632675     		φ = -0.44562669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10153035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.817261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44562669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.532529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31709 KachelY 37578 -0.10153035 -0.44562669 -5.817261 -25.532529
    Oben rechts KachelX + 1 31710 KachelY 37578 -0.10143448 -0.44562669 -5.811768 -25.532529
    Unten links KachelX 31709 KachelY + 1 37579 -0.10153035 -0.44571320 -5.817261 -25.537485
    Unten rechts KachelX + 1 31710 KachelY + 1 37579 -0.10143448 -0.44571320 -5.811768 -25.537485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44562669--0.44571320) × R
    8.65099999999841e-05 × 6371000     		dl = 551.155209999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44562669--0.44571320) × R
    8.65099999999841e-05 × 6371000     		dr = 551.155209999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10153035--0.10143448) × cos(-0.44562669) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.902340724518973 × 6371000     		do = 551.138678909196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10153035--0.10143448) × cos(-0.44571320) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.902303433303567 × 6371000     		du = 551.115901890897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44562669)-sin(-0.44571320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902340724518973-0.902303433303567)×R²
    abs(-0.10143448--0.10153035)×3.72912154062988e-05×R²
    9.58700000000118e-05×3.72912154062988e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×3.72912154062988e-05×40589641000000     		ar = 303756.677666555m²