Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31708 / 37595
↖ ↑ ↗
← S 25.616763°
W  5.822754°		 ← 550.81 m → S 25.616763°
W  5.817261°		 →
↑
550.71 m
↓
↑
550.71 m
↓
S 25.621716°
W  5.822754°		 ← 550.79 m →
303 329 m²		 S 25.621716°
W  5.817261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483833312988281 y=0.573661804199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483833312988281 × 216)
    floor (0.483833312988281 × 65536)
    floor (31708.5)     		tx = 31708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573661804199219 × 216)
    floor (0.573661804199219 × 65536)
    floor (37595.5)     		ty = 37595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31708 / 37595 ti = "16/31708/37595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31708/37595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31708 ÷ 216
    31708 ÷ 65536     		x = 0.48382568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37595 ÷ 216
    37595 ÷ 65536     		y = 0.573654174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48382568359375 × 2 - 1) × π
    -0.0323486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10162623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573654174804688 × 2 - 1) × π
    -0.147308349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.462782828932022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10162623} λ = -0.10162623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.462782828932022))-π/2
    2×atan(0.629529333221525)-π/2
    2×0.561849735746018-π/2
    1.12369947149204-1.57079632675     		φ = -0.44709686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10162623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.822754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44709686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.616763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31708 KachelY 37595 -0.10162623 -0.44709686 -5.822754 -25.616763
    Oben rechts KachelX + 1 31709 KachelY 37595 -0.10153035 -0.44709686 -5.817261 -25.616763
    Unten links KachelX 31708 KachelY + 1 37596 -0.10162623 -0.44718330 -5.822754 -25.621716
    Unten rechts KachelX + 1 31709 KachelY + 1 37596 -0.10153035 -0.44718330 -5.817261 -25.621716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44709686--0.44718330) × R
    8.64400000000209e-05 × 6371000     		dl = 550.709240000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44709686--0.44718330) × R
    8.64400000000209e-05 × 6371000     		dr = 550.709240000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10162623--0.10153035) × cos(-0.44709686) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.901706071838255 × 6371000     		do = 550.808488507342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10162623--0.10153035) × cos(-0.44718330) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.901668696171821 × 6371000     		du = 550.785657526185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44709686)-sin(-0.44718330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901706071838255-0.901668696171821)×R²
    abs(-0.10153035--0.10162623)×3.73756664339142e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.73756664339142e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.73756664339142e-05×40589641000000     		ar = 303329.037664318m²