Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31705 / 21448
↖ ↑ ↗
← S 48.516604°
E168.321533°		 ← 809.18 m → S 48.516604°
E168.332519°		 →
↑
809.12 m
↓
↑
809.12 m
↓
S 48.523881°
E168.321533°		 ← 809.06 m →
654 670 m²		 S 48.523881°
E168.332519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.967575073242188 y=0.654556274414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.967575073242188 × 215)
    floor (0.967575073242188 × 32768)
    floor (31705.5)     		tx = 31705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654556274414062 × 215)
    floor (0.654556274414062 × 32768)
    floor (21448.5)     		ty = 21448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31705 / 21448 ti = "15/31705/21448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31705/21448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31705 ÷ 215
    31705 ÷ 32768     		x = 0.967559814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21448 ÷ 215
    21448 ÷ 32768     		y = 0.654541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.967559814453125 × 2 - 1) × π
    0.93511962890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.93776496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654541015625 × 2 - 1) × π
    -0.30908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.971009838703857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93776496} λ = 2.93776496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971009838703857))-π/2
    2×atan(0.378700418604051)-π/2
    2×0.362010919519072-π/2
    0.724021839038143-1.57079632675     		φ = -0.84677449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93776496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.321533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84677449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.516604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31705 KachelY 21448 2.93776496 -0.84677449 168.321533 -48.516604
    Oben rechts KachelX + 1 31706 KachelY 21448 2.93795670 -0.84677449 168.332519 -48.516604
    Unten links KachelX 31705 KachelY + 1 21449 2.93776496 -0.84690149 168.321533 -48.523881
    Unten rechts KachelX + 1 31706 KachelY + 1 21449 2.93795670 -0.84690149 168.332519 -48.523881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84677449--0.84690149) × R
    0.000126999999999988 × 6371000     		dl = 809.116999999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84677449--0.84690149) × R
    0.000126999999999988 × 6371000     		dr = 809.116999999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93776496-2.93795670) × cos(-0.84677449) × R
    0.000191739999999996 × 0.662402970941446 × 6371000     		do = 809.175266925383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93776496-2.93795670) × cos(-0.84690149) × R
    0.000191739999999996 × 0.662307823839507 × 6371000     		du = 809.059037552953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84677449)-sin(-0.84690149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662402970941446-0.662307823839507)×R²
    abs(2.93795670-2.93776496)×9.51471019385863e-05×R²
    0.000191739999999996×9.51471019385863e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.51471019385863e-05×40589641000000     		ar = 654670.443747775m²