Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31703 / 37597
↖ ↑ ↗
← S 25.626669°
W  5.850220°		 ← 550.76 m → S 25.626669°
W  5.844726°		 →
↑
550.71 m
↓
↑
550.71 m
↓
S 25.631622°
W  5.850220°		 ← 550.74 m →
303 304 m²		 S 25.631622°
W  5.844726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483757019042969 y=0.573692321777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483757019042969 × 216)
    floor (0.483757019042969 × 65536)
    floor (31703.5)     		tx = 31703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.573692321777344 × 216)
    floor (0.573692321777344 × 65536)
    floor (37597.5)     		ty = 37597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31703 / 37597 ti = "16/31703/37597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31703/37597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31703 ÷ 216
    31703 ÷ 65536     		x = 0.483749389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37597 ÷ 216
    37597 ÷ 65536     		y = 0.573684692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483749389648438 × 2 - 1) × π
    -0.032501220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10210560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.573684692382812 × 2 - 1) × π
    -0.147369384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.462974576530502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10210560} λ = -0.10210560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.462974576530502))-π/2
    2×atan(0.629408634055964)-π/2
    2×0.561763289342688-π/2
    1.12352657868538-1.57079632675     		φ = -0.44726975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10210560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.850220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.44726975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.626669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31703 KachelY 37597 -0.10210560 -0.44726975 -5.850220 -25.626669
    Oben rechts KachelX + 1 31704 KachelY 37597 -0.10200972 -0.44726975 -5.844726 -25.626669
    Unten links KachelX 31703 KachelY + 1 37598 -0.10210560 -0.44735619 -5.850220 -25.631622
    Unten rechts KachelX + 1 31704 KachelY + 1 37598 -0.10200972 -0.44735619 -5.844726 -25.631622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.44726975--0.44735619) × R
    8.64399999999654e-05 × 6371000     		dl = 550.70923999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.44726975--0.44735619) × R
    8.64399999999654e-05 × 6371000     		dr = 550.70923999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10210560--0.10200972) × cos(-0.44726975) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.901631309443178 × 6371000     		do = 550.762819787741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10210560--0.10200972) × cos(-0.44735619) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.901593920301935 × 6371000     		du = 550.739980575476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.44726975)-sin(-0.44735619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901631309443178-0.901593920301935)×R²
    abs(-0.10200972--0.10210560)×3.73891412429606e-05×R²
    9.58800000000065e-05×3.73891412429606e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×3.73891412429606e-05×40589641000000     		ar = 303303.885211508m²