Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31702 / 21446
↖ ↑ ↗
← S 48.502047°
E168.288574°		 ← 809.45 m → S 48.502047°
E168.299560°		 →
↑
809.37 m
↓
↑
809.37 m
↓
S 48.509326°
E168.288574°		 ← 809.33 m →
655 099 m²		 S 48.509326°
E168.299560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.967483520507812 y=0.654495239257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.967483520507812 × 215)
    floor (0.967483520507812 × 32768)
    floor (31702.5)     		tx = 31702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654495239257812 × 215)
    floor (0.654495239257812 × 32768)
    floor (21446.5)     		ty = 21446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31702 / 21446 ti = "15/31702/21446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31702/21446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31702 ÷ 215
    31702 ÷ 32768     		x = 0.96746826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21446 ÷ 215
    21446 ÷ 32768     		y = 0.65447998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.96746826171875 × 2 - 1) × π
    0.9349365234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.93718971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65447998046875 × 2 - 1) × π
    -0.3089599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.970626343506897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93718971} λ = 2.93718971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.970626343506897))-π/2
    2×atan(0.378845676246697)-π/2
    2×0.36213795194392-π/2
    0.72427590388784-1.57079632675     		φ = -0.84652042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93718971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.288574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84652042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.502047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31702 KachelY 21446 2.93718971 -0.84652042 168.288574 -48.502047
    Oben rechts KachelX + 1 31703 KachelY 21446 2.93738146 -0.84652042 168.299560 -48.502047
    Unten links KachelX 31702 KachelY + 1 21447 2.93718971 -0.84664746 168.288574 -48.509326
    Unten rechts KachelX + 1 31703 KachelY + 1 21447 2.93738146 -0.84664746 168.299560 -48.509326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84652042--0.84664746) × R
    0.000127039999999967 × 6371000     		dl = 809.371839999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84652042--0.84664746) × R
    0.000127039999999967 × 6371000     		dr = 809.371839999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93718971-2.93738146) × cos(-0.84652042) × R
    0.000191749999999935 × 0.662593285520656 × 6371000     		do = 809.449964378215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93718971-2.93738146) × cos(-0.84664746) × R
    0.000191749999999935 × 0.662498129831394 × 6371000     		du = 809.333718453353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84652042)-sin(-0.84664746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662593285520656-0.662498129831394)×R²
    abs(2.93738146-2.93718971)×9.51556892613281e-05×R²
    0.000191749999999935×9.51556892613281e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.51556892613281e-05×40589641000000     		ar = 655098.964848697m²