Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31700 / 21458
↖ ↑ ↗
← S 48.589326°
E168.266602°		 ← 808.06 m → S 48.589326°
E168.277588°		 →
↑
807.97 m
↓
↑
807.97 m
↓
S 48.596592°
E168.266602°		 ← 807.94 m →
652 838 m²		 S 48.596592°
E168.277588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.967422485351562 y=0.654861450195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.967422485351562 × 215)
    floor (0.967422485351562 × 32768)
    floor (31700.5)     		tx = 31700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654861450195312 × 215)
    floor (0.654861450195312 × 32768)
    floor (21458.5)     		ty = 21458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31700 / 21458 ti = "15/31700/21458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31700/21458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31700 ÷ 215
    31700 ÷ 32768     		x = 0.9674072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21458 ÷ 215
    21458 ÷ 32768     		y = 0.65484619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9674072265625 × 2 - 1) × π
    0.934814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.93680622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65484619140625 × 2 - 1) × π
    -0.3096923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.97292731468866
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93680622} λ = 2.93680622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.97292731468866))-π/2
    2×atan(0.377974965387777)-π/2
    2×0.361376304706081-π/2
    0.722752609412162-1.57079632675     		φ = -0.84804372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93680622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.266602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84804372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.589326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31700 KachelY 21458 2.93680622 -0.84804372 168.266602 -48.589326
    Oben rechts KachelX + 1 31701 KachelY 21458 2.93699797 -0.84804372 168.277588 -48.589326
    Unten links KachelX 31700 KachelY + 1 21459 2.93680622 -0.84817054 168.266602 -48.596592
    Unten rechts KachelX + 1 31701 KachelY + 1 21459 2.93699797 -0.84817054 168.277588 -48.596592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84804372--0.84817054) × R
    0.000126820000000083 × 6371000     		dl = 807.970220000529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84804372--0.84817054) × R
    0.000126820000000083 × 6371000     		dr = 807.970220000529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93680622-2.93699797) × cos(-0.84804372) × R
    0.000191750000000379 × 0.661451596890788 × 6371000     		do = 808.055232738562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93680622-2.93699797) × cos(-0.84817054) × R
    0.000191750000000379 × 0.661356478111909 × 6371000     		du = 807.939031904872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84804372)-sin(-0.84817054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661451596890788-0.661356478111909)×R²
    abs(2.93699797-2.93680622)×9.5118778878911e-05×R²
    0.000191750000000379×9.5118778878911e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.5118778878911e-05×40589641000000     		ar = 652837.621636869m²