Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3170 / 3037
↖ ↑ ↗
← S 65.256707°
E 98.613281°		 ← 4 090.52 m → S 65.256707°
E 98.701172°		 →
↑
4 087.63 m
↓
↑
4 087.63 m
↓
S 65.293468°
E 98.613281°		 ← 4 084.82 m →
16 708 895 m²		 S 65.293468°
E 98.701172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7740478515625 y=0.7415771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7740478515625 × 212)
    floor (0.7740478515625 × 4096)
    floor (3170.5)     		tx = 3170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7415771484375 × 212)
    floor (0.7415771484375 × 4096)
    floor (3037.5)     		ty = 3037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3170 / 3037 ti = "12/3170/3037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3170/3037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3170 ÷ 212
    3170 ÷ 4096     		x = 0.77392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3037 ÷ 212
    3037 ÷ 4096     		y = 0.741455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77392578125 × 2 - 1) × π
    0.5478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.72112644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741455078125 × 2 - 1) × π
    -0.48291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51710699917554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.72112644} λ = 1.72112644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51710699917554))-π/2
    2×atan(0.219345536754245)-π/2
    2×0.215925969747455-π/2
    0.431851939494909-1.57079632675     		φ = -1.13894439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.72112644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.613281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13894439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.256707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3170 KachelY 3037 1.72112644 -1.13894439 98.613281 -65.256707
    Oben rechts KachelX + 1 3171 KachelY 3037 1.72266042 -1.13894439 98.701172 -65.256707
    Unten links KachelX 3170 KachelY + 1 3038 1.72112644 -1.13958599 98.613281 -65.293468
    Unten rechts KachelX + 1 3171 KachelY + 1 3038 1.72266042 -1.13958599 98.701172 -65.293468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13894439--1.13958599) × R
    0.00064160000000002 × 6371000     		dl = 4087.63360000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13894439--1.13958599) × R
    0.00064160000000002 × 6371000     		dr = 4087.63360000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.72112644-1.72266042) × cos(-1.13894439) × R
    0.00153398000000005 × 0.418553433719698 × 6371000     		do = 4090.51709075565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.72112644-1.72266042) × cos(-1.13958599) × R
    0.00153398000000005 × 0.417970651512596 × 6371000     		du = 4084.82156806658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13894439)-sin(-1.13958599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418553433719698-0.417970651512596)×R²
    abs(1.72266042-1.72112644)×0.000582782207101784×R²
    0.00153398000000005×0.000582782207101784×6371000²
    0.00153398000000005×0.000582782207101784×40589641000000     		ar = 16708895.0697786m²