Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31698 / 21410
↖ ↑ ↗
← S 48.239309°
E168.244629°		 ← 813.64 m → S 48.239309°
E168.255615°		 →
↑
813.58 m
↓
↑
813.58 m
↓
S 48.246626°
E168.244629°		 ← 813.52 m →
661 909 m²		 S 48.246626°
E168.255615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.967361450195312 y=0.653396606445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.967361450195312 × 215)
    floor (0.967361450195312 × 32768)
    floor (31698.5)     		tx = 31698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653396606445312 × 215)
    floor (0.653396606445312 × 32768)
    floor (21410.5)     		ty = 21410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31698 / 21410 ti = "15/31698/21410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31698/21410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31698 ÷ 215
    31698 ÷ 32768     		x = 0.96734619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21410 ÷ 215
    21410 ÷ 32768     		y = 0.65338134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.96734619140625 × 2 - 1) × π
    0.9346923828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.93642272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65338134765625 × 2 - 1) × π
    -0.3067626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.963723429961609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93642272} λ = 2.93642272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.963723429961609))-π/2
    2×atan(0.381469862040421)-π/2
    2×0.364430778023248-π/2
    0.728861556046495-1.57079632675     		φ = -0.84193477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93642272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.244629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84193477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.239309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31698 KachelY 21410 2.93642272 -0.84193477 168.244629 -48.239309
    Oben rechts KachelX + 1 31699 KachelY 21410 2.93661447 -0.84193477 168.255615 -48.239309
    Unten links KachelX 31698 KachelY + 1 21411 2.93642272 -0.84206247 168.244629 -48.246626
    Unten rechts KachelX + 1 31699 KachelY + 1 21411 2.93661447 -0.84206247 168.255615 -48.246626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84193477--0.84206247) × R
    0.000127699999999953 × 6371000     		dl = 813.5766999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84193477--0.84206247) × R
    0.000127699999999953 × 6371000     		dr = 813.5766999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93642272-2.93661447) × cos(-0.84193477) × R
    0.000191749999999935 × 0.666020864302854 × 6371000     		do = 813.637229151015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93642272-2.93661447) × cos(-0.84206247) × R
    0.000191749999999935 × 0.66592560321415 × 6371000     		du = 813.520854466056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84193477)-sin(-0.84206247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666020864302854-0.66592560321415)×R²
    abs(2.93661447-2.93642272)×9.52610887040573e-05×R²
    0.000191749999999935×9.52610887040573e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.52610887040573e-05×40589641000000     		ar = 661908.95292301m²