Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31695 / 38482
↖ ↑ ↗
← S 29.926374°
W  5.894165°		 ← 529.40 m → S 29.926374°
W  5.888672°		 →
↑
529.37 m
↓
↑
529.37 m
↓
S 29.931135°
W  5.894165°		 ← 529.38 m →
280 242 m²		 S 29.931135°
W  5.888672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483634948730469 y=0.587196350097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483634948730469 × 216)
    floor (0.483634948730469 × 65536)
    floor (31695.5)     		tx = 31695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587196350097656 × 216)
    floor (0.587196350097656 × 65536)
    floor (38482.5)     		ty = 38482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31695 / 38482 ti = "16/31695/38482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31695/38482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31695 ÷ 216
    31695 ÷ 65536     		x = 0.483627319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38482 ÷ 216
    38482 ÷ 65536     		y = 0.587188720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483627319335938 × 2 - 1) × π
    -0.032745361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10287259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587188720703125 × 2 - 1) × π
    -0.17437744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.547822888858002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10287259} λ = -0.10287259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.547822888858002))-π/2
    2×atan(0.578207262550931)-π/2
    2×0.52424128210373-π/2
    1.04848256420746-1.57079632675     		φ = -0.52231376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10287259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.894165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52231376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.926374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31695 KachelY 38482 -0.10287259 -0.52231376 -5.894165 -29.926374
    Oben rechts KachelX + 1 31696 KachelY 38482 -0.10277671 -0.52231376 -5.888672 -29.926374
    Unten links KachelX 31695 KachelY + 1 38483 -0.10287259 -0.52239685 -5.894165 -29.931135
    Unten rechts KachelX + 1 31696 KachelY + 1 38483 -0.10277671 -0.52239685 -5.888672 -29.931135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52231376--0.52239685) × R
    8.30900000000634e-05 × 6371000     		dl = 529.366390000404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52231376--0.52239685) × R
    8.30900000000634e-05 × 6371000     		dr = 529.366390000404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10287259--0.10277671) × cos(-0.52231376) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.866667196388104 × 6371000     		do = 529.40493958116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10287259--0.10277671) × cos(-0.52239685) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.866625740897932 × 6371000     		du = 529.379616433634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52231376)-sin(-0.52239685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866667196388104-0.866625740897932)×R²
    abs(-0.10277671--0.10287259)×4.14554901718711e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.14554901718711e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.14554901718711e-05×40589641000000     		ar = 280242.479264175m²