Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31694 / 38480
↖ ↑ ↗
← S 29.916852°
W  5.899658°		 ← 529.40 m → S 29.916852°
W  5.894165°		 →
↑
529.43 m
↓
↑
529.43 m
↓
S 29.921613°
W  5.899658°		 ← 529.38 m →
280 274 m²		 S 29.921613°
W  5.894165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483619689941406 y=0.587165832519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483619689941406 × 216)
    floor (0.483619689941406 × 65536)
    floor (31694.5)     		tx = 31694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587165832519531 × 216)
    floor (0.587165832519531 × 65536)
    floor (38480.5)     		ty = 38480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31694 / 38480 ti = "16/31694/38480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31694/38480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31694 ÷ 216
    31694 ÷ 65536     		x = 0.483612060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38480 ÷ 216
    38480 ÷ 65536     		y = 0.587158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483612060546875 × 2 - 1) × π
    -0.03277587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10296846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587158203125 × 2 - 1) × π
    -0.17431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.547631141259522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10296846} λ = -0.10296846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.547631141259522))-π/2
    2×atan(0.578318143035143)-π/2
    2×0.524324376754385-π/2
    1.04864875350877-1.57079632675     		φ = -0.52214757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10296846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.899658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52214757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.916852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31694 KachelY 38480 -0.10296846 -0.52214757 -5.899658 -29.916852
    Oben rechts KachelX + 1 31695 KachelY 38480 -0.10287259 -0.52214757 -5.894165 -29.916852
    Unten links KachelX 31694 KachelY + 1 38481 -0.10296846 -0.52223067 -5.899658 -29.921613
    Unten rechts KachelX + 1 31695 KachelY + 1 38481 -0.10287259 -0.52223067 -5.894165 -29.921613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52214757--0.52223067) × R
    8.31000000000026e-05 × 6371000     		dl = 529.430100000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52214757--0.52223067) × R
    8.31000000000026e-05 × 6371000     		dr = 529.430100000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10296846--0.10287259) × cos(-0.52214757) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.866750094405313 × 6371000     		do = 529.400357309099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10296846--0.10287259) × cos(-0.52223067) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.866708645894851 × 6371000     		du = 529.375041065824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52214757)-sin(-0.52223067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866750094405313-0.866708645894851)×R²
    abs(-0.10287259--0.10296846)×4.144851046195e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.144851046195e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.144851046195e-05×40589641000000     		ar = 280273.782680924m²