Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3169 / 5219
↖ ↑ ↗
← S 44.182204°
W 40.737305°		 ← 3 504.28 m → S 44.182204°
W 40.693359°		 →
↑
3 503.29 m
↓
↑
3 503.29 m
↓
S 44.213710°
W 40.737305°		 ← 3 502.41 m →
12 273 221 m²		 S 44.213710°
W 40.693359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38690185546875 y=0.63714599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38690185546875 × 213)
    floor (0.38690185546875 × 8192)
    floor (3169.5)     		tx = 3169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63714599609375 × 213)
    floor (0.63714599609375 × 8192)
    floor (5219.5)     		ty = 5219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3169 / 5219 ti = "13/3169/5219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3169/5219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3169 ÷ 213
    3169 ÷ 8192     		x = 0.3868408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5219 ÷ 213
    5219 ÷ 8192     		y = 0.6370849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3868408203125 × 2 - 1) × π
    -0.226318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.71100010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6370849609375 × 2 - 1) × π
    -0.274169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.861330212373169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71100010} λ = -0.71100010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.861330212373169))-π/2
    2×atan(0.422599561099283)-π/2
    2×0.399835698481372-π/2
    0.799671396962744-1.57079632675     		φ = -0.77112493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71100010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.737305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77112493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.182204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3169 KachelY 5219 -0.71100010 -0.77112493 -40.737305 -44.182204
    Oben rechts KachelX + 1 3170 KachelY 5219 -0.71023310 -0.77112493 -40.693359 -44.182204
    Unten links KachelX 3169 KachelY + 1 5220 -0.71100010 -0.77167481 -40.737305 -44.213710
    Unten rechts KachelX + 1 3170 KachelY + 1 5220 -0.71023310 -0.77167481 -40.693359 -44.213710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77112493--0.77167481) × R
    0.000549880000000003 × 6371000     		dl = 3503.28548000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77112493--0.77167481) × R
    0.000549880000000003 × 6371000     		dr = 3503.28548000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71100010--0.71023310) × cos(-0.77112493) × R
    0.000767000000000073 × 0.717127112115856 × 6371000     		do = 3504.28250959985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71100010--0.71023310) × cos(-0.77167481) × R
    0.000767000000000073 × 0.716743769031627 × 6371000     		du = 3502.40928176822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77112493)-sin(-0.77167481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.717127112115856-0.716743769031627)×R²
    abs(-0.71023310--0.71100010)×0.00038334308422816×R²
    0.000767000000000073×0.00038334308422816×6371000²
    0.000767000000000073×0.00038334308422816×40589641000000     		ar = 12273221.117022m²