Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3169 / 3290
↖ ↑ ↗
← N 33.358062°
W 40.737305°		 ← 4 081.50 m → N 33.358062°
W 40.693359°		 →
↑
4 082.35 m
↓
↑
4 082.35 m
↓
N 33.321348°
W 40.737305°		 ← 4 083.22 m →
16 665 605 m²		 N 33.321348°
W 40.693359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38690185546875 y=0.40167236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38690185546875 × 213)
    floor (0.38690185546875 × 8192)
    floor (3169.5)     		tx = 3169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40167236328125 × 213)
    floor (0.40167236328125 × 8192)
    floor (3290.5)     		ty = 3290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3169 / 3290 ti = "13/3169/3290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3169/3290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3169 ÷ 213
    3169 ÷ 8192     		x = 0.3868408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3290 ÷ 213
    3290 ÷ 8192     		y = 0.401611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3868408203125 × 2 - 1) × π
    -0.226318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.71100010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.401611328125 × 2 - 1) × π
    0.19677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.618194257500244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71100010} λ = -0.71100010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.618194257500244))-π/2
    2×atan(1.85557432536268)-π/2
    2×1.07650216700313-π/2
    2.15300433400626-1.57079632675     		φ = 0.58220801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71100010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.737305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58220801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.358062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3169 KachelY 3290 -0.71100010 0.58220801 -40.737305 33.358062
    Oben rechts KachelX + 1 3170 KachelY 3290 -0.71023310 0.58220801 -40.693359 33.358062
    Unten links KachelX 3169 KachelY + 1 3291 -0.71100010 0.58156724 -40.737305 33.321348
    Unten rechts KachelX + 1 3170 KachelY + 1 3291 -0.71023310 0.58156724 -40.693359 33.321348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58220801-0.58156724) × R
    0.000640769999999957 × 6371000     		dl = 4082.34566999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58220801-0.58156724) × R
    0.000640769999999957 × 6371000     		dr = 4082.34566999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71100010--0.71023310) × cos(0.58220801) × R
    0.000767000000000073 × 0.835250569559969 × 6371000     		do = 4081.49951743765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71100010--0.71023310) × cos(0.58156724) × R
    0.000767000000000073 × 0.835602737955285 × 6371000     		du = 4083.22040837495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58220801)-sin(0.58156724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835250569559969-0.835602737955285)×R²
    abs(-0.71023310--0.71100010)×0.000352168395315933×R²
    0.000767000000000073×0.000352168395315933×6371000²
    0.000767000000000073×0.000352168395315933×40589641000000     		ar = 16665605.0881741m²