Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31683 / 19515
↖ ↑ ↗
← N 58.645511°
W  5.960083°		 ← 317.81 m → N 58.645511°
W  5.954590°		 →
↑
317.85 m
↓
↑
317.85 m
↓
N 58.642653°
W  5.960083°		 ← 317.84 m →
101 020 m²		 N 58.642653°
W  5.954590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483451843261719 y=0.297782897949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483451843261719 × 216)
    floor (0.483451843261719 × 65536)
    floor (31683.5)     		tx = 31683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297782897949219 × 216)
    floor (0.297782897949219 × 65536)
    floor (19515.5)     		ty = 19515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31683 / 19515 ti = "16/31683/19515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31683/19515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31683 ÷ 216
    31683 ÷ 65536     		x = 0.483444213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19515 ÷ 216
    19515 ÷ 65536     		y = 0.297775268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483444213867188 × 2 - 1) × π
    -0.033111572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10402307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297775268554688 × 2 - 1) × π
    0.404449462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27061546132921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10402307} λ = -0.10402307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27061546132921))-π/2
    2×atan(3.56304480395743)-π/2
    2×1.29717679174559-π/2
    2.59435358349117-1.57079632675     		φ = 1.02355726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10402307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.960083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02355726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.645511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31683 KachelY 19515 -0.10402307 1.02355726 -5.960083 58.645511
    Oben rechts KachelX + 1 31684 KachelY 19515 -0.10392720 1.02355726 -5.954590 58.645511
    Unten links KachelX 31683 KachelY + 1 19516 -0.10402307 1.02350737 -5.960083 58.642653
    Unten rechts KachelX + 1 31684 KachelY + 1 19516 -0.10392720 1.02350737 -5.954590 58.642653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02355726-1.02350737) × R
    4.98900000001079e-05 × 6371000     		dl = 317.849190000687m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02355726-1.02350737) × R
    4.98900000001079e-05 × 6371000     		dr = 317.849190000687m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10402307--0.10392720) × cos(1.02355726) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.520331476503561 × 6371000     		do = 317.81210219441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10402307--0.10392720) × cos(1.02350737) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.52037408013868 × 6371000     		du = 317.838123973698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02355726)-sin(1.02350737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520331476503561-0.52037408013868)×R²
    abs(-0.10392720--0.10402307)×4.26036351185433e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.26036351185433e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.26036351185433e-05×40589641000000     		ar = 101020.454776793m²