Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3168 / 3086
↖ ↑ ↗
← S 66.998844°
E 98.437500°		 ← 3 818.79 m → S 66.998844°
E 98.525390°		 →
↑
3 816.10 m
↓
↑
3 816.10 m
↓
S 67.033163°
E 98.437500°		 ← 3 813.40 m →
14 562 614 m²		 S 67.033163°
E 98.525390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7735595703125 y=0.7535400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7735595703125 × 212)
    floor (0.7735595703125 × 4096)
    floor (3168.5)     		tx = 3168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7535400390625 × 212)
    floor (0.7535400390625 × 4096)
    floor (3086.5)     		ty = 3086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3168 / 3086 ti = "12/3168/3086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3168/3086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3168 ÷ 212
    3168 ÷ 4096     		x = 0.7734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3086 ÷ 212
    3086 ÷ 4096     		y = 0.75341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7734375 × 2 - 1) × π
    0.546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71805848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75341796875 × 2 - 1) × π
    -0.5068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59227205777979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71805848} λ = 1.71805848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59227205777979))-π/2
    2×atan(0.203462806920307)-π/2
    2×0.200722953807751-π/2
    0.401445907615503-1.57079632675     		φ = -1.16935042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71805848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16935042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.998844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3168 KachelY 3086 1.71805848 -1.16935042 98.437500 -66.998844
    Oben rechts KachelX + 1 3169 KachelY 3086 1.71959246 -1.16935042 98.525390 -66.998844
    Unten links KachelX 3168 KachelY + 1 3087 1.71805848 -1.16994940 98.437500 -67.033163
    Unten rechts KachelX + 1 3169 KachelY + 1 3087 1.71959246 -1.16994940 98.525390 -67.033163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16935042--1.16994940) × R
    0.000598979999999916 × 6371000     		dl = 3816.10157999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16935042--1.16994940) × R
    0.000598979999999916 × 6371000     		dr = 3816.10157999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71805848-1.71959246) × cos(-1.16935042) × R
    0.00153398000000005 × 0.390749703126382 × 6371000     		do = 3818.79160479323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71805848-1.71959246) × cos(-1.16994940) × R
    0.00153398000000005 × 0.390198273788991 × 6371000     		du = 3813.40249327909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16935042)-sin(-1.16994940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390749703126382-0.390198273788991)×R²
    abs(1.71959246-1.71805848)×0.000551429337390885×R²
    0.00153398000000005×0.000551429337390885×6371000²
    0.00153398000000005×0.000551429337390885×40589641000000     		ar = 14562614.4136547m²