Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31679 / 38465
↖ ↑ ↗
← S 29.845409°
W  5.982056°		 ← 529.84 m → S 29.845409°
W  5.976562°		 →
↑
529.75 m
↓
↑
529.75 m
↓
S 29.850173°
W  5.982056°		 ← 529.81 m →
280 673 m²		 S 29.850173°
W  5.976562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483390808105469 y=0.586936950683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483390808105469 × 216)
    floor (0.483390808105469 × 65536)
    floor (31679.5)     		tx = 31679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586936950683594 × 216)
    floor (0.586936950683594 × 65536)
    floor (38465.5)     		ty = 38465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31679 / 38465 ti = "16/31679/38465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31679/38465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31679 ÷ 216
    31679 ÷ 65536     		x = 0.483383178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38465 ÷ 216
    38465 ÷ 65536     		y = 0.586929321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483383178710938 × 2 - 1) × π
    -0.033233642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10440657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586929321289062 × 2 - 1) × π
    -0.173858642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.54619303427092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10440657} λ = -0.10440657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.54619303427092))-π/2
    2×atan(0.579150424709883)-π/2
    2×0.524947839837071-π/2
    1.04989567967414-1.57079632675     		φ = -0.52090065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10440657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.982056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52090065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.845409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31679 KachelY 38465 -0.10440657 -0.52090065 -5.982056 -29.845409
    Oben rechts KachelX + 1 31680 KachelY 38465 -0.10431069 -0.52090065 -5.976562 -29.845409
    Unten links KachelX 31679 KachelY + 1 38466 -0.10440657 -0.52098380 -5.982056 -29.850173
    Unten rechts KachelX + 1 31680 KachelY + 1 38466 -0.10431069 -0.52098380 -5.976562 -29.850173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52090065--0.52098380) × R
    8.31500000000318e-05 × 6371000     		dl = 529.748650000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52090065--0.52098380) × R
    8.31500000000318e-05 × 6371000     		dr = 529.748650000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10440657--0.10431069) × cos(-0.52090065) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.867371312667401 × 6371000     		do = 529.835050052461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10440657--0.10431069) × cos(-0.52098380) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.867329929112132 × 6371000     		du = 529.809770846477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52090065)-sin(-0.52098380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867371312667401-0.867329929112132)×R²
    abs(-0.10431069--0.10440657)×4.13835552690589e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.13835552690589e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.13835552690589e-05×40589641000000     		ar = 280672.706837015m²