Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31679 / 19491
↖ ↑ ↗
← N 58.714042°
W  5.982056°		 ← 317.22 m → N 58.714042°
W  5.976562°		 →
↑
317.21 m
↓
↑
317.21 m
↓
N 58.711189°
W  5.982056°		 ← 317.25 m →
100 630 m²		 N 58.711189°
W  5.976562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483390808105469 y=0.297416687011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483390808105469 × 216)
    floor (0.483390808105469 × 65536)
    floor (31679.5)     		tx = 31679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297416687011719 × 216)
    floor (0.297416687011719 × 65536)
    floor (19491.5)     		ty = 19491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31679 / 19491 ti = "16/31679/19491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31679/19491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31679 ÷ 216
    31679 ÷ 65536     		x = 0.483383178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19491 ÷ 216
    19491 ÷ 65536     		y = 0.297409057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483383178710938 × 2 - 1) × π
    -0.033233642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10440657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297409057617188 × 2 - 1) × π
    0.405181884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27291643251097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10440657} λ = -0.10440657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27291643251097))-π/2
    2×atan(3.57125270682327)-π/2
    2×1.29777483771536-π/2
    2.59554967543072-1.57079632675     		φ = 1.02475335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10440657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.982056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02475335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.714042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31679 KachelY 19491 -0.10440657 1.02475335 -5.982056 58.714042
    Oben rechts KachelX + 1 31680 KachelY 19491 -0.10431069 1.02475335 -5.976562 58.714042
    Unten links KachelX 31679 KachelY + 1 19492 -0.10440657 1.02470356 -5.982056 58.711189
    Unten rechts KachelX + 1 31680 KachelY + 1 19492 -0.10431069 1.02470356 -5.976562 58.711189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02475335-1.02470356) × R
    4.97899999998275e-05 × 6371000     		dl = 317.212089998901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02475335-1.02470356) × R
    4.97899999998275e-05 × 6371000     		dr = 317.212089998901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10440657--0.10431069) × cos(1.02475335) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.519309686296058 × 6371000     		do = 317.221090452305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10440657--0.10431069) × cos(1.02470356) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.519352235495645 × 6371000     		du = 317.247081693845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02475335)-sin(1.02470356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519309686296058-0.519352235495645)×R²
    abs(-0.10431069--0.10440657)×4.25491995864613e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.25491995864613e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.25491995864613e-05×40589641000000     		ar = 100630.487482777m²