Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31676 / 21420
↖ ↑ ↗
← S 48.312428°
E168.002930°		 ← 812.43 m → S 48.312428°
E168.013916°		 →
↑
812.37 m
↓
↑
812.37 m
↓
S 48.319734°
E168.002930°		 ← 812.31 m →
659 944 m²		 S 48.319734°
E168.013916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.966690063476562 y=0.653701782226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.966690063476562 × 215)
    floor (0.966690063476562 × 32768)
    floor (31676.5)     		tx = 31676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653701782226562 × 215)
    floor (0.653701782226562 × 32768)
    floor (21420.5)     		ty = 21420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31676 / 21420 ti = "15/31676/21420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31676/21420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31676 ÷ 215
    31676 ÷ 32768     		x = 0.9666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21420 ÷ 215
    21420 ÷ 32768     		y = 0.6536865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9666748046875 × 2 - 1) × π
    0.933349609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.93220428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6536865234375 × 2 - 1) × π
    -0.307373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.965640905946411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93220428} λ = 2.93220428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.965640905946411))-π/2
    2×atan(0.38073910357084)-π/2
    2×0.363792695127408-π/2
    0.727585390254817-1.57079632675     		φ = -0.84321094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93220428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 168.002930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84321094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.312428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31676 KachelY 21420 2.93220428 -0.84321094 168.002930 -48.312428
    Oben rechts KachelX + 1 31677 KachelY 21420 2.93239602 -0.84321094 168.013916 -48.312428
    Unten links KachelX 31676 KachelY + 1 21421 2.93220428 -0.84333845 168.002930 -48.319734
    Unten rechts KachelX + 1 31677 KachelY + 1 21421 2.93239602 -0.84333845 168.013916 -48.319734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84321094--0.84333845) × R
    0.000127509999999997 × 6371000     		dl = 812.366209999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84321094--0.84333845) × R
    0.000127509999999997 × 6371000     		dr = 812.366209999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93220428-2.93239602) × cos(-0.84321094) × R
    0.000191739999999996 × 0.665068384757071 × 6371000     		do = 812.431271246528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93220428-2.93239602) × cos(-0.84333845) × R
    0.000191739999999996 × 0.664973157119159 × 6371000     		du = 812.314943493324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84321094)-sin(-0.84333845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665068384757071-0.664973157119159)×R²
    abs(2.93239602-2.93220428)×9.5227637911699e-05×R²
    0.000191739999999996×9.5227637911699e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.5227637911699e-05×40589641000000     		ar = 659944.46323388m²