Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31676 / 19494
↖ ↑ ↗
← N 58.705483°
W  5.998535°		 ← 317.30 m → N 58.705483°
W  5.993042°		 →
↑
317.34 m
↓
↑
317.34 m
↓
N 58.702629°
W  5.998535°		 ← 317.33 m →
100 696 m²		 N 58.702629°
W  5.993042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483345031738281 y=0.297462463378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483345031738281 × 216)
    floor (0.483345031738281 × 65536)
    floor (31676.5)     		tx = 31676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297462463378906 × 216)
    floor (0.297462463378906 × 65536)
    floor (19494.5)     		ty = 19494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31676 / 19494 ti = "16/31676/19494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31676/19494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31676 ÷ 216
    31676 ÷ 65536     		x = 0.48333740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19494 ÷ 216
    19494 ÷ 65536     		y = 0.297454833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48333740234375 × 2 - 1) × π
    -0.0333251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10469419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297454833984375 × 2 - 1) × π
    0.40509033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27262881111325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10469419} λ = -0.10469419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27262881111325))-π/2
    2×atan(3.57022568583181)-π/2
    2×1.29770014624746-π/2
    2.59540029249491-1.57079632675     		φ = 1.02460397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10469419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.998535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02460397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.705483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31676 KachelY 19494 -0.10469419 1.02460397 -5.998535 58.705483
    Oben rechts KachelX + 1 31677 KachelY 19494 -0.10459831 1.02460397 -5.993042 58.705483
    Unten links KachelX 31676 KachelY + 1 19495 -0.10469419 1.02455416 -5.998535 58.702629
    Unten rechts KachelX + 1 31677 KachelY + 1 19495 -0.10459831 1.02455416 -5.993042 58.702629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02460397-1.02455416) × R
    4.9809999999928e-05 × 6371000     		dl = 317.339509999541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02460397-1.02455416) × R
    4.9809999999928e-05 × 6371000     		dr = 317.339509999541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10469419--0.10459831) × cos(1.02460397) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.519437338577307 × 6371000     		do = 317.299067037231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10469419--0.10459831) × cos(1.02455416) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.519479901003481 × 6371000     		du = 317.325066358251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02460397)-sin(1.02455416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519437338577307-0.519479901003481)×R²
    abs(-0.10459831--0.10469419)×4.25624261737312e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.25624261737312e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.25624261737312e-05×40589641000000     		ar = 100695.655783445m²