Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31671 / 19523
↖ ↑ ↗
← N 58.622637°
W  6.026001°		 ← 318.05 m → N 58.622637°
W  6.020508°		 →
↑
318.04 m
↓
↑
318.04 m
↓
N 58.619777°
W  6.026001°		 ← 318.08 m →
101 158 m²		 N 58.619777°
W  6.020508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483268737792969 y=0.297904968261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483268737792969 × 216)
    floor (0.483268737792969 × 65536)
    floor (31671.5)     		tx = 31671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297904968261719 × 216)
    floor (0.297904968261719 × 65536)
    floor (19523.5)     		ty = 19523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31671 / 19523 ti = "16/31671/19523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31671/19523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31671 ÷ 216
    31671 ÷ 65536     		x = 0.483261108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19523 ÷ 216
    19523 ÷ 65536     		y = 0.297897338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483261108398438 × 2 - 1) × π
    -0.033477783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10517356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297897338867188 × 2 - 1) × π
    0.404205322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.26984847093529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10517356} λ = -0.10517356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26984847093529))-π/2
    2×atan(3.56031303057557)-π/2
    2×1.29697718176435-π/2
    2.59395436352871-1.57079632675     		φ = 1.02315804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10517356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.026001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02315804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.622637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31671 KachelY 19523 -0.10517356 1.02315804 -6.026001 58.622637
    Oben rechts KachelX + 1 31672 KachelY 19523 -0.10507768 1.02315804 -6.020508 58.622637
    Unten links KachelX 31671 KachelY + 1 19524 -0.10517356 1.02310812 -6.026001 58.619777
    Unten rechts KachelX + 1 31672 KachelY + 1 19524 -0.10507768 1.02310812 -6.020508 58.619777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02315804-1.02310812) × R
    4.99199999999256e-05 × 6371000     		dl = 318.040319999526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02315804-1.02310812) × R
    4.99199999999256e-05 × 6371000     		dr = 318.040319999526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10517356--0.10507768) × cos(1.02315804) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.520672354688145 × 6371000     		do = 318.053478456314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10517356--0.10507768) × cos(1.02310812) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.520714973567876 × 6371000     		du = 318.079512262073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02315804)-sin(1.02310812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520672354688145-0.520714973567876)×R²
    abs(-0.10507768--0.10517356)×4.26188797306715e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.26188797306715e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.26188797306715e-05×40589641000000     		ar = 101157.969986302m²