Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31668 / 21428
↖ ↑ ↗
← S 48.370847°
E167.915039°		 ← 811.50 m → S 48.370847°
E167.926025°		 →
↑
811.47 m
↓
↑
811.47 m
↓
S 48.378145°
E167.915039°		 ← 811.38 m →
658 465 m²		 S 48.378145°
E167.926025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.966445922851562 y=0.653945922851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.966445922851562 × 215)
    floor (0.966445922851562 × 32768)
    floor (31668.5)     		tx = 31668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653945922851562 × 215)
    floor (0.653945922851562 × 32768)
    floor (21428.5)     		ty = 21428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31668 / 21428 ti = "15/31668/21428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31668/21428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31668 ÷ 215
    31668 ÷ 32768     		x = 0.9664306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21428 ÷ 215
    21428 ÷ 32768     		y = 0.6539306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9664306640625 × 2 - 1) × π
    0.932861328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.93067030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6539306640625 × 2 - 1) × π
    -0.307861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.967174886734253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.93067030} λ = 2.93067030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967174886734253))-π/2
    2×atan(0.380155504829849)-π/2
    2×0.363282886212966-π/2
    0.726565772425932-1.57079632675     		φ = -0.84423055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.93067030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 167.915039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84423055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.370847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31668 KachelY 21428 2.93067030 -0.84423055 167.915039 -48.370847
    Oben rechts KachelX + 1 31669 KachelY 21428 2.93086204 -0.84423055 167.926025 -48.370847
    Unten links KachelX 31668 KachelY + 1 21429 2.93067030 -0.84435792 167.915039 -48.378145
    Unten rechts KachelX + 1 31669 KachelY + 1 21429 2.93086204 -0.84435792 167.926025 -48.378145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84423055--0.84435792) × R
    0.00012736999999996 × 6371000     		dl = 811.474269999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84423055--0.84435792) × R
    0.00012736999999996 × 6371000     		dr = 811.474269999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.93067030-2.93086204) × cos(-0.84423055) × R
    0.000191739999999996 × 0.664306612320225 × 6371000     		do = 811.500708670632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.93067030-2.93086204) × cos(-0.84435792) × R
    0.000191739999999996 × 0.664211402928441 × 6371000     		du = 811.38440320645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84423055)-sin(-0.84435792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664306612320225-0.664211402928441)×R²
    abs(2.93086204-2.93067030)×9.52093917839791e-05×R²
    0.000191739999999996×9.52093917839791e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.52093917839791e-05×40589641000000     		ar = 658464.756617402m²