Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31660 / 38354
↖ ↑ ↗
← S 29.315141°
W  6.086426°		 ← 532.57 m → S 29.315141°
W  6.080933°		 →
↑
532.62 m
↓
↑
532.62 m
↓
S 29.319931°
W  6.086426°		 ← 532.55 m →
283 649 m²		 S 29.319931°
W  6.080933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483100891113281 y=0.585243225097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483100891113281 × 216)
    floor (0.483100891113281 × 65536)
    floor (31660.5)     		tx = 31660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585243225097656 × 216)
    floor (0.585243225097656 × 65536)
    floor (38354.5)     		ty = 38354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31660 / 38354 ti = "16/31660/38354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31660/38354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31660 ÷ 216
    31660 ÷ 65536     		x = 0.48309326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38354 ÷ 216
    38354 ÷ 65536     		y = 0.585235595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48309326171875 × 2 - 1) × π
    -0.0338134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10622817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585235595703125 × 2 - 1) × π
    -0.17047119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.535551042555267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10622817} λ = -0.10622817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.535551042555267))-π/2
    2×atan(0.585346650344905)-π/2
    2×0.529575296150053-π/2
    1.05915059230011-1.57079632675     		φ = -0.51164573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10622817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.086426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51164573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.315141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31660 KachelY 38354 -0.10622817 -0.51164573 -6.086426 -29.315141
    Oben rechts KachelX + 1 31661 KachelY 38354 -0.10613230 -0.51164573 -6.080933 -29.315141
    Unten links KachelX 31660 KachelY + 1 38355 -0.10622817 -0.51172933 -6.086426 -29.319931
    Unten rechts KachelX + 1 31661 KachelY + 1 38355 -0.10613230 -0.51172933 -6.080933 -29.319931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51164573--0.51172933) × R
    8.35999999999615e-05 × 6371000     		dl = 532.615599999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51164573--0.51172933) × R
    8.35999999999615e-05 × 6371000     		dr = 532.615599999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10622817--0.10613230) × cos(-0.51164573) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871939918185671 × 6371000     		do = 532.570238202597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10622817--0.10613230) × cos(-0.51172933) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871898983501393 × 6371000     		du = 532.545235798071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51164573)-sin(-0.51172933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871939918185671-0.871898983501393)×R²
    abs(-0.10613230--0.10622817)×4.09346842784597e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.09346842784597e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.09346842784597e-05×40589641000000     		ar = 283648.558792213m²