Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3166 / 3301
↖ ↑ ↗
← N 32.953368°
W 40.869141°		 ← 4 100.32 m → N 32.953368°
W 40.825196°		 →
↑
4 101.14 m
↓
↑
4 101.14 m
↓
N 32.916485°
W 40.869141°		 ← 4 102.03 m →
16 819 506 m²		 N 32.916485°
W 40.825196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38653564453125 y=0.40301513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38653564453125 × 213)
    floor (0.38653564453125 × 8192)
    floor (3166.5)     		tx = 3166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40301513671875 × 213)
    floor (0.40301513671875 × 8192)
    floor (3301.5)     		ty = 3301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3166 / 3301 ti = "13/3166/3301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3166/3301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3166 ÷ 213
    3166 ÷ 8192     		x = 0.386474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3301 ÷ 213
    3301 ÷ 8192     		y = 0.4029541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.386474609375 × 2 - 1) × π
    -0.22705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.71330107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4029541015625 × 2 - 1) × π
    0.194091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.609757363167114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71330107} λ = -0.71330107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.609757363167114))-π/2
    2×atan(1.83998489650703)-π/2
    2×1.07297055027314-π/2
    2.14594110054629-1.57079632675     		φ = 0.57514477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71330107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.869141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57514477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.953368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3166 KachelY 3301 -0.71330107 0.57514477 -40.869141 32.953368
    Oben rechts KachelX + 1 3167 KachelY 3301 -0.71253408 0.57514477 -40.825196 32.953368
    Unten links KachelX 3166 KachelY + 1 3302 -0.71330107 0.57450105 -40.869141 32.916485
    Unten rechts KachelX + 1 3167 KachelY + 1 3302 -0.71253408 0.57450105 -40.825196 32.916485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57514477-0.57450105) × R
    0.000643720000000014 × 6371000     		dl = 4101.14012000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57514477-0.57450105) × R
    0.000643720000000014 × 6371000     		dr = 4101.14012000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71330107--0.71253408) × cos(0.57514477) × R
    0.000766990000000023 × 0.839113562664238 × 6371000     		do = 4100.32279350691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71330107--0.71253408) × cos(0.57450105) × R
    0.000766990000000023 × 0.839463544319285 × 6371000     		du = 4102.03297651593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57514477)-sin(0.57450105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839113562664238-0.839463544319285)×R²
    abs(-0.71253408--0.71330107)×0.000349981655047071×R²
    0.000766990000000023×0.000349981655047071×6371000²
    0.000766990000000023×0.000349981655047071×40589641000000     		ar = 16819505.7442758m²