Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31658 / 19503
↖ ↑ ↗
← N 58.679793°
W  6.097412°		 ← 317.53 m → N 58.679793°
W  6.091919°		 →
↑
317.53 m
↓
↑
317.53 m
↓
N 58.676938°
W  6.097412°		 ← 317.56 m →
100 831 m²		 N 58.676938°
W  6.091919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.483070373535156 y=0.297599792480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.483070373535156 × 216)
    floor (0.483070373535156 × 65536)
    floor (31658.5)     		tx = 31658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297599792480469 × 216)
    floor (0.297599792480469 × 65536)
    floor (19503.5)     		ty = 19503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31658 / 19503 ti = "16/31658/19503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31658/19503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31658 ÷ 216
    31658 ÷ 65536     		x = 0.483062744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19503 ÷ 216
    19503 ÷ 65536     		y = 0.297592163085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.483062744140625 × 2 - 1) × π
    -0.03387451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10641992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297592163085938 × 2 - 1) × π
    0.404815673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27176594692009
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10641992} λ = -0.10641992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27176594692009))-π/2
    2×atan(3.56714639462211)-π/2
    2×1.29747596167508-π/2
    2.59495192335017-1.57079632675     		φ = 1.02415560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10641992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.097412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02415560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.679793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31658 KachelY 19503 -0.10641992 1.02415560 -6.097412 58.679793
    Oben rechts KachelX + 1 31659 KachelY 19503 -0.10632404 1.02415560 -6.091919 58.679793
    Unten links KachelX 31658 KachelY + 1 19504 -0.10641992 1.02410576 -6.097412 58.676938
    Unten rechts KachelX + 1 31659 KachelY + 1 19504 -0.10632404 1.02410576 -6.091919 58.676938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02415560-1.02410576) × R
    4.98399999999677e-05 × 6371000     		dl = 317.530639999794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02415560-1.02410576) × R
    4.98399999999677e-05 × 6371000     		dr = 317.530639999794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10641992--0.10632404) × cos(1.02415560) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.519820422347505 × 6371000     		do = 317.53307432522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10641992--0.10632404) × cos(1.02410576) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.51986299879566 × 6371000     		du = 317.559082211589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02415560)-sin(1.02410576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519820422347505-0.51986299879566)×R²
    abs(-0.10632404--0.10641992)×4.2576448155196e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.2576448155196e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.2576448155196e-05×40589641000000     		ar = 100830.6094831m²