Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31652 / 38618
↖ ↑ ↗
← S 30.571720°
W  6.130371°		 ← 525.88 m → S 30.571720°
W  6.124878°		 →
↑
525.93 m
↓
↑
525.93 m
↓
S 30.576450°
W  6.130371°		 ← 525.86 m →
276 569 m²		 S 30.576450°
W  6.124878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482978820800781 y=0.589271545410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482978820800781 × 216)
    floor (0.482978820800781 × 65536)
    floor (31652.5)     		tx = 31652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589271545410156 × 216)
    floor (0.589271545410156 × 65536)
    floor (38618.5)     		ty = 38618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31652 / 38618 ti = "16/31652/38618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31652/38618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31652 ÷ 216
    31652 ÷ 65536     		x = 0.48297119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38618 ÷ 216
    38618 ÷ 65536     		y = 0.589263916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48297119140625 × 2 - 1) × π
    -0.0340576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10699516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589263916015625 × 2 - 1) × π
    -0.17852783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.560861725554657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10699516} λ = -0.10699516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.560861725554657))-π/2
    2×atan(0.570717050422162)-π/2
    2×0.51860957247315-π/2
    1.0372191449463-1.57079632675     		φ = -0.53357718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10699516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.130371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53357718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.571720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31652 KachelY 38618 -0.10699516 -0.53357718 -6.130371 -30.571720
    Oben rechts KachelX + 1 31653 KachelY 38618 -0.10689929 -0.53357718 -6.124878 -30.571720
    Unten links KachelX 31652 KachelY + 1 38619 -0.10699516 -0.53365973 -6.130371 -30.576450
    Unten rechts KachelX + 1 31653 KachelY + 1 38619 -0.10689929 -0.53365973 -6.124878 -30.576450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53357718--0.53365973) × R
    8.25500000000146e-05 × 6371000     		dl = 525.926050000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53357718--0.53365973) × R
    8.25500000000146e-05 × 6371000     		dr = 525.926050000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10699516--0.10689929) × cos(-0.53357718) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.860993170286754 × 6371000     		do = 525.884098464741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10699516--0.10689929) × cos(-0.53365973) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.860951181059756 × 6371000     		du = 525.858451958419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53357718)-sin(-0.53365973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860993170286754-0.860951181059756)×R²
    abs(-0.10689929--0.10699516)×4.19892269982736e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.19892269982736e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.19892269982736e-05×40589641000000     		ar = 276569.402737834m²