Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31650 / 38619
↖ ↑ ↗
← S 30.576450°
W  6.141358°		 ← 525.91 m → S 30.576450°
W  6.135864°		 →
↑
525.86 m
↓
↑
525.86 m
↓
S 30.581179°
W  6.141358°		 ← 525.89 m →
276 551 m²		 S 30.581179°
W  6.135864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482948303222656 y=0.589286804199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482948303222656 × 216)
    floor (0.482948303222656 × 65536)
    floor (31650.5)     		tx = 31650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589286804199219 × 216)
    floor (0.589286804199219 × 65536)
    floor (38619.5)     		ty = 38619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31650 / 38619 ti = "16/31650/38619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31650/38619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31650 ÷ 216
    31650 ÷ 65536     		x = 0.482940673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38619 ÷ 216
    38619 ÷ 65536     		y = 0.589279174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482940673828125 × 2 - 1) × π
    -0.03411865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10718691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589279174804688 × 2 - 1) × π
    -0.178558349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.560957599353897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10718691} λ = -0.10718691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.560957599353897))-π/2
    2×atan(0.570662336233118)-π/2
    2×0.518568300136354-π/2
    1.03713660027271-1.57079632675     		φ = -0.53365973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10718691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.141358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53365973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.576450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31650 KachelY 38619 -0.10718691 -0.53365973 -6.141358 -30.576450
    Oben rechts KachelX + 1 31651 KachelY 38619 -0.10709103 -0.53365973 -6.135864 -30.576450
    Unten links KachelX 31650 KachelY + 1 38620 -0.10718691 -0.53374227 -6.141358 -30.581179
    Unten rechts KachelX + 1 31651 KachelY + 1 38620 -0.10709103 -0.53374227 -6.135864 -30.581179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53365973--0.53374227) × R
    8.25399999999643e-05 × 6371000     		dl = 525.862339999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53365973--0.53374227) × R
    8.25399999999643e-05 × 6371000     		dr = 525.862339999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10718691--0.10709103) × cos(-0.53365973) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.860951181059756 × 6371000     		do = 525.91330315806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10718691--0.10709103) × cos(-0.53374227) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.86090919105339 × 6371000     		du = 525.887653500526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53365973)-sin(-0.53374227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860951181059756-0.86090919105339)×R²
    abs(-0.10709103--0.10718691)×4.1990006365733e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.1990006365733e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.1990006365733e-05×40589641000000     		ar = 276551.256298023m²