Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3165 / 3085
↖ ↑ ↗
← S 66.964476°
E 98.173828°		 ← 3 824.19 m → S 66.964476°
E 98.261719°		 →
↑
3 821.52 m
↓
↑
3 821.52 m
↓
S 66.998844°
E 98.173828°		 ← 3 818.79 m →
14 603 886 m²		 S 66.998844°
E 98.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7728271484375 y=0.7532958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7728271484375 × 212)
    floor (0.7728271484375 × 4096)
    floor (3165.5)     		tx = 3165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7532958984375 × 212)
    floor (0.7532958984375 × 4096)
    floor (3085.5)     		ty = 3085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3165 / 3085 ti = "12/3165/3085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3165/3085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3165 ÷ 212
    3165 ÷ 4096     		x = 0.772705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3085 ÷ 212
    3085 ÷ 4096     		y = 0.753173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772705078125 × 2 - 1) × π
    0.54541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71345654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753173828125 × 2 - 1) × π
    -0.50634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59073807699194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71345654} λ = 1.71345654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59073807699194))-π/2
    2×atan(0.20377515446348)-π/2
    2×0.201022866751497-π/2
    0.402045733502994-1.57079632675     		φ = -1.16875059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71345654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.173828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16875059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.964476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3165 KachelY 3085 1.71345654 -1.16875059 98.173828 -66.964476
    Oben rechts KachelX + 1 3166 KachelY 3085 1.71499052 -1.16875059 98.261719 -66.964476
    Unten links KachelX 3165 KachelY + 1 3086 1.71345654 -1.16935042 98.173828 -66.998844
    Unten rechts KachelX + 1 3166 KachelY + 1 3086 1.71499052 -1.16935042 98.261719 -66.998844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16875059--1.16935042) × R
    0.000599830000000079 × 6371000     		dl = 3821.5169300005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16875059--1.16935042) × R
    0.000599830000000079 × 6371000     		dr = 3821.5169300005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71345654-1.71499052) × cos(-1.16875059) × R
    0.00153398000000005 × 0.391301774494954 × 6371000     		do = 3824.18699086948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71345654-1.71499052) × cos(-1.16935042) × R
    0.00153398000000005 × 0.390749703126382 × 6371000     		du = 3818.79160479323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16875059)-sin(-1.16935042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391301774494954-0.390749703126382)×R²
    abs(1.71499052-1.71345654)×0.000552071368571383×R²
    0.00153398000000005×0.000552071368571383×6371000²
    0.00153398000000005×0.000552071368571383×40589641000000     		ar = 14603886.4873473m²