Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3165 / 3059
↖ ↑ ↗
← S 66.053716°
E 98.173828°		 ← 3 966.66 m → S 66.053716°
E 98.261719°		 →
↑
3 963.91 m
↓
↑
3 963.91 m
↓
S 66.089364°
E 98.173828°		 ← 3 961.10 m →
15 712 462 m²		 S 66.089364°
E 98.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7728271484375 y=0.7469482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7728271484375 × 212)
    floor (0.7728271484375 × 4096)
    floor (3165.5)     		tx = 3165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7469482421875 × 212)
    floor (0.7469482421875 × 4096)
    floor (3059.5)     		ty = 3059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3165 / 3059 ti = "12/3165/3059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3165/3059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3165 ÷ 212
    3165 ÷ 4096     		x = 0.772705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3059 ÷ 212
    3059 ÷ 4096     		y = 0.746826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772705078125 × 2 - 1) × π
    0.54541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.71345654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746826171875 × 2 - 1) × π
    -0.49365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55085457650806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71345654} λ = 1.71345654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55085457650806))-π/2
    2×atan(0.21206666917481)-π/2
    2×0.208970747792025-π/2
    0.41794149558405-1.57079632675     		φ = -1.15285483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71345654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.173828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15285483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.053716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3165 KachelY 3059 1.71345654 -1.15285483 98.173828 -66.053716
    Oben rechts KachelX + 1 3166 KachelY 3059 1.71499052 -1.15285483 98.261719 -66.053716
    Unten links KachelX 3165 KachelY + 1 3060 1.71345654 -1.15347701 98.173828 -66.089364
    Unten rechts KachelX + 1 3166 KachelY + 1 3060 1.71499052 -1.15347701 98.261719 -66.089364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15285483--1.15347701) × R
    0.000622179999999917 × 6371000     		dl = 3963.90877999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15285483--1.15347701) × R
    0.000622179999999917 × 6371000     		dr = 3963.90877999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71345654-1.71499052) × cos(-1.15285483) × R
    0.00153398000000005 × 0.405879993947844 × 6371000     		do = 3966.65973394288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71345654-1.71499052) × cos(-1.15347701) × R
    0.00153398000000005 × 0.405311288708903 × 6371000     		du = 3961.10178527473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15285483)-sin(-1.15347701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405879993947844-0.405311288708903)×R²
    abs(1.71499052-1.71345654)×0.000568705238940814×R²
    0.00153398000000005×0.000568705238940814×6371000²
    0.00153398000000005×0.000568705238940814×40589641000000     		ar = 15712462.2527534m²